THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
1
TRNG HSP H NI
THI TH I HC LN I NM 2010
TRNG THPT CHUYấN
HSP Mụn thi: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao ủ
==========================================
Cõu 1. ( 2,0 ủim )
Cho hm s y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1, trong ủú m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s ủó cho khi m = - 1.
2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ủ hm s cú cc ủi ti x
C
, cc tiu ti x
CT
tha món:
x
2
C
= x
CT
.
Cõu 2. ( 2,0 ủim )
1. Gii phng trỡnh:
1+x + 1 = 4x
2
+ x3 .
2. Gii phng trỡnh: 5cos(2x +
3
) = 4sin(
6
5
- x) 9 .
Cõu 3. ( 2,0 ủim )
1. Tỡm h nguyờn hm ca hm s: f(x) =
1
)1ln(
2
32
+
++
x
xxx
.
2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA =x v tt c cỏc cnh cũn li cú ủ di bng a.
Chng minh rng ủng thng BD vuụng gúc vi mt phng (SAC). Tỡm x theo a
ủ th tớch ca khi chúp S.ABCD bng
6
2
3
a
.
Cõu 4. ( 2,0 ủim )
1. Gii bt phng trỡnh: (4
x
2.2
x
3). log
2
x 3 >
2
1
4
+x
- 4
x
.
2. Cho cỏc s thc khụng õm a, b.Chng minh rng:
( a
2
+ b +
4
3
) ( b
2
+ a +
4
3
)
( 2a +
2
1
) ( 2b +
2
1
).
Cõu 5. ( 2,0 ủim )
Trong mt phng vi h ta ủ Oxy, cho ba ủng thng :
d
1
: 2x + y 3 = 0, d
2
: 3x + 4y + 5 = 0 v d
3
: 4x + 3y + 2 = 0.
1. Vit phng trỡnh ủng trũn cú tõm thuc d
1
v tip xỳc vi d
2
v d
3
.
2. Tỡm ta ủ ủim M thuc d
1
v ủim N thuc d
2
sao cho
OM
+ 4
ON
=
0
.
Ht
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
2
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
3
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
4
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
5
TRNG HSP H NI THI TH I HC LN II NM 2010
TRNG THPT CHUYấN HSP Mụn thi: TON
_______________
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt ủ
==========================================
Ngy thi: 07 3 2010
.
Cõu 1. ( 2,0 ủim). Cho hm s y =
1
12
x
x
.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ( C ) ca hm s.
2. Lp phng trỡnh tip tuyn ca ủ th ( C ) m tip tuyn ny ct cỏc trc Ox , Oy
ln lt ti cỏc ủim A v B tha món OA = 4OB.
Cõu 2. ( 2,0 ủim)
1. Gii phng trỡnh:
x
x
xx
cos
sin
cossin
+
+ 2tan2x + cos2x = 0.
2. Gii h phng trỡnh:
=++++
=++++
011)1(
030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx
Cõu 3. ( 2,0 ủim)
1. Tớnh tớch phõn: I =
+
+
1
0
1
1
dx
x
x
.
2. Cho lng tr ủng ABC.ABC cú ủỏy ABC l tam giỏc vuụng vi AB = BC = a,
cnh bờn A A = a
2
. M l ủim trờn A A sao cho
'
3
1
AAM =
. Tớnh th tớch ca khi t
din MABC.
Cõu 4. ( 2,0 ủim)
1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s a ủ phng trỡnh sau cú nghim duy nht:
log
5
(25
x
log
5
a ) = x.
2. Cho cỏc s thc dng a, b, c thay ủi luụn tha món a + b + c = 1.
Chng minh rng :
.2
222
+
+
+
+
+
+
+
+
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba
Cõu 5. ( 2,0 ủim).
Trong mt phng vi h ta ủ Oxy, cho ủim E(-1;0) v ủng trũn
( C ): x
2
+ y
2
8x 4y 16 = 0.
1. Vit phng trỡnh ủng thng ủi qua ủim E ct ( C ) theo dõy cung MN cú ủ di
ngn nht.
2. Cho tam giỏc ABC cõn ti A, bit phng trỡnh ủng thng AB, BC ln lt l:
x + 2y 5 = 0 v 3x y + 7 = 0. Vit phng trỡnh ủng thng AC, bit rng AC ủi
qua ủim F(1; - 3).
Ht
D kin thi th ln sau vo cỏc ngy 27,28 thỏng 3 nm 2010.
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
6
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
7
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
8
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
9
TRNG HSP H NI THI TH I HC LN III NM 2010
TRNG THPT CHUYấN HSP Mụn thi: TON
_______________
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt ủ
==========================================
Ngy thi: 28 3 2010
Cõu 1. ( 2,0 ủim). Cho hm s y = x
4
+ 2m
2
x
2
+ 1 (1).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th hm s khi m = 1.
2. Chng minh rng ủng thng y = x + 1 luụn ct ủ th hm s (1) ti hai ủim
phõn bit vi mi giỏ tr ca m.
Cõu 2. ( 2,0 ủim)
1. Gii phng trỡnh: 2sin
2
(x -
4
) = 2sin
2
x - tanx.
2. Gii phng trỡnh: 2 log
3
(x
2
4) + 3
2
3
)2(log +x
- log
3
(x 2)
2
= 4.
Cõu 3. ( 2,0 ủim)
1. Tớnh tớch phõn: I =
+
3
0
2
sin3cos
sin
dx
xx
x
.
2. Trong khụng gian, cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cnh huyn AB = 2a. Trờn
ủng thng d ủi qua A v vuụng gúc mt phng (ABC) ly ủim S sao cho mp( SBC) to
vi mp(ABC) mt gúc bng 60
0
. Tớnh din tớch mt cu ngoi tip t din SABC.
Cõu 4. ( 2,0 ủim)
1. Gii h phng trỡnh:
+=+
+=+
)1(51
164
22
33
xy
xyyx
.
2. Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s:
f(x) =
2
2
5884
2
234
+
++
x
x
xxxx
Cõu 5. ( 2,0 ủim)
1.
Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz, cho ủim A(0;1;3) v ủng thng
d:
=
+=
=
3
22
1
z
ty
tx
Hóy tm trờn ủng thng d cỏc ủim B v C sao cho tam giỏc ABC ủu.
2. Trong mt phng Oxy cho elớp (E) cú tiờu ủim th nht l ( -
3
; 0) v ủi qua ủim
M ( 1;
5
334
). Hóy xỏc ủnh ta ủ cỏc ủnh ca (E).
Ht
D kin thi th ln sau vo cỏc ngy 17,18 thỏng 4 nm 2010.
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
10
HNG DN GII BI THI LN 3
Cõu 1.
1. T lm.
2. Xột phng trỡnh honh ủ giao ủim: x
4
+2m
2
x
2
+1 = x + 1
x
4
+ 2m
2
x
2
x = 0
x( x
3
+ 2m
2
x 1) = 0
=+
=
(*)012
0
23
xmx
x
t g(x) = x
3
+ 2m
2
x 1 ;
Ta cú: g(x) = 3x
2
+ 2m
2
0 (vi mi x v mi m )
Hm s g(x) luụn ủng bin vi mi giỏ tr
ca m.
Mt khỏc g(0) = -1
0. Do ủú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0.
Vy ủng thng y = x+ 1 luụn ct ủ th hm s (1) ti hai ủim phõn bit vi mi giỏ tr ca m.
Cõu 2.
1. Gii phng trỡnh: 2 sin
2
( x -
4
) = 2sin
2
x tanx (1)
iu kin: cosx
0
x
.
2
k+
(*).
(1)
1 cos (2x -
2
) = 2sin
2
x tan x
1 sin2x = tanx ( sin 2x 1)
=
=
1tan
12sin
x
x
+=
+=
.
4
2.
2
2
lx
kx
+=
+=
.
4
.
4
lx
kx
x =
2
.
4
k+
. ( Tha món ủiu kin (*) ).
2. Gii phng trỡnh: 2log
3
(x
2
4) + 3
2
3
)2(log +x
- log
3
( x -2)
2
= 4 (2).
iu kin:
+
>
0)2(log
04
2
3
2
x
x
+
>
1)2(
04
2
2
x
x
>
3
2
x
x
(**)
Pt (2) ủc bin ủi thnh: log
3
(x
2
4)
2
log
3
(x 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0
log
3
( x + 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0
(
2
3
)2(log +x
+ 4) (
2
3
)2(log +x
- 1) = 0.
2
3
)2(log +x
= 1
(x+2)
2
= 3
x+ 2 =
3
x = - 2
3
.
Kim tra ủiu kin (**) ch cú x = - 2 -
3
tha món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l : x = - 2 -
3
.
Chỳ ý:
1/ Bin ủi : 2log
3
( x
2
4) = log
3
(x
2
4)
2
lm m rng tp xỏc ủnh nờn xut
hin nghim ngoi lai x = -2 +
3
.
2/ Nu bin ủi: log
3
( x 2)
2
= 2log
3
( x 2) hoc log
3
( x+2)
2
= 2log
3
(x+2) s
lm thu hp tp xỏc ủnh dn ủn mt nghim ( Li ph bin ca hc sinh!)
Cõu 3.
1. Tớnh tớch phõn: I =
+
3
0
2
.
sin3cos
sin
dx
xx
x
t t =
x
2
sin3 +
=
x
2
cos4
. Ta cú: cos
2
x = 4 t
2
v dt =
dx
x
xx
2
sin3
cossin
+
.
i cn: Vi: x = 0 thỡ t =
3
; x =
3
thỡ t =
2
15
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
11
I =
+
3
0
2
.
sin3cos
sin
dx
xx
x
=
+
3
0
22
sin3cos
cos.sin
dx
xx
xx
=
2
15
3
2
4 t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
4
1
2
15
3
+
=
=
2
15
3
2
2
ln
4
1
+
t
t
=
)
23
23
ln
415
415
(ln
4
1
+
+
=
))23ln()415(ln(
2
1
++
.
2. Ta cú SA
mp(ABC)
SA
AB ; SA
AC
Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB
BC
AC
BC
SC ( nh lý 3 ủng
vuụng gúc) . Hai ủim A,C cựng nhỡn ủon SB di gúc vuụng nờn mt cu ủng kớnh
SB ủi qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ủng kớnh
SB.
Ta cú CA = CB = AB sin 45
0
= a
2
;
=
SCA
60
0
l gúc gia mt (SBC) v mp(ABC)
SA = AC.tan60
0
= a
6
.T ủú SB
2
= SA
2
+ AB
2
= 10a
2
.
Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S =
2
d
=
.SB
2
= 10
a
2
.
Cõu 4.
1. Gii h:
+=+
+=+
)2) (1(51
)1 (164
22
33
xy
xyyx
T (2) suy ra y
2
5x
2
= 4 (3). Th vo (1) ủc: x
3
+ (y
2
5x
2
).y = y
3
+ 16x
x
3
5x
2
y 16 x = 0
x = 0 hoc x
2
5xy 16 = 0.
TH1: x= 0
y
2
= 4 ( Th vo (3)).
y =
2.
TH2: x
2
5xy 16 = 0
y =
x
x
5
16
2
( 4). Th vo (3) ủc:
22
2
5)
5
16
( x
x
x
= 4
x
4
32x
2
+ 256 125x
4
= 100x
2
124 x
4
+132x
2
256 = 0
x
2
= 1
x =
1.
Th vo (4) ủc giỏ tr tng ng y =
3
.
Vy h cú 4 nghim: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3).
Chỳ ý: Nu thay giỏ tr ca x vo (3) trng hp 2, s tha 2 cp nghim!
2. Tỡm GTNN ca hm s: f(x) =
2
2
5884
2
234
+
++
x
x
xxxx
.
Tp xỏc ủnh: R vỡ x
2
2x + 2 = (x 1)
2
+ 1 > 0 vi mi x.
Bin ủi ủc: f(x) = x
2
2x + 2 +
2
2
1
2
+
x
x
2
( Bt ủng thc Cosi cho hai s dng).
Du bng xy ra khi : x
2
2x + 2 =1
x = 1.
Vy: min f(x) = 2 ủt ủc khi x = 1.
Cõu 5.
1. Tỡm cỏc ủim B,C?
Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d. H
d
H ( 1-t; 2+2t;3)
AH
= ( 1-t; 1+2t; 0). M AH
d nờn
d
uAH
( -1;2;0). T ủú cú -1(1-t)+2(1+2t) =0
t = -1/5
H ( 6/5; 8/5; 3).
Ta cú AH =
5
53
.m tam giỏc ABC ủu nờn BC =
5
152
3
2
=
AH
hay BH =
5
15
.
Gi: B ( 1-s;2+2s;3) thỡ
25
15
)2
5
2
()
5
1
(
22
=++ SS
25s
2
+10s 2 = 0
s =
5
31
Vy: B (
)3;
5
328
;
5
36
v C(
3;
5
328
;
5
36
) ( Hai cp).
2. Xỏc ủnh ta ủ cỏc ủnh ca (E)?
THI TH TRNG CHUYấN HSP H NI 2009 - 2010
=============================================
==============================================
12
Theo bi ra cú F
1
( -
3
; 0) v F
2
(
3
;0) l hai tiờu ủim ca (E). Theo ủnh ngha ca (E)
suy ra : 2a = MF
1
+ MF
2
=
22
)
5
334
()31( ++
+
22
)
5
334
()31( +
= 10
a = 5.
Li cú c =
3
v a
2
b
2
= c
2
b
2
= a
2
c
2
= 22. Vy ta ủ cỏc ủnh ca (E) l:
A
1
( - 5;0) ; A
2
( 5;0) ; B
1
( 0; -
22
) ; B
2
( 0;
22
).
Ht
TRNG HSP H NI
thi : 4
THI TH I HC 2009 - 2010
Mụn thi: Toỏn
Thi gian lm bi: 180 phỳt
Cõu I. (2 im)
Cho hm s: y = 2x
3
3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1, trong ú m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2. Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m, hm s luụn cú cc i, cc tiu v
khong cỏch gia cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s khụng i.
Cõu II. (2 im)
1. Gii h:
2 + 6y =
x
y
x 2y
x +
x 2y = x + 3y 2
(Vi x, y R).
2. Gii phng trỡnh: sin 2x +
(1 + cos 2x)
2
2 sin 2x
= 2 cos 2x.
Cõu III. (2 im)
1.Tớnh tớch phõn: I =
2
4
x cos x
sin
3
x
dx.
2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a, mt bờn (SBC)
vuụng gúc vi mt ỏy, hai mt bờn cũn li to vi mt ỏy mt gúc . Tớnh th
tớch hỡnh chúp S.ABC.
Cõu IV. (2 im)
1. Tỡm nghim phc ca phng trỡnh: 2(1 + i)z
2
4(2 i)z 5 3i = 0.
2. Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng:
x
2
xy
x + y
+
y
2
yz
y + z
+
z
2
zx
z + x
0
Cõu V. (2 im)
1. Trong mt phng Oxy, hóy xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC vuụng
cõn ti A. Bit rng cnh huyn nm trờn ng thng d : x + 7y 31 = 0, im
N(7; 7) thuc ng thng AC, im M (2; 3) thuc AB v nm ngoi on AB.
2. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng :
x = t
y = 7 + 2t
z = 4
. Gi
l giao
tuyn ca hai mt phng (P ) : x 3y + z = 0, (Q) : x + y z + 4 = 0. Chng minh
rng hai ng thng v
chộo nhau. Vit phng trỡnh (dng tham s) ng
vuụng gúc chung ca hai ng thng ,
.
1
HNG DN GII THI TH I HC 2010 DHSP H NI LN IV
Cõu 1. 1. T lm.
2. Ta cú y = 6x
2
6(2m+1)x + 6m(m+1)
ị
y = 0 khi x
1
=m hoc x
2
= m+1. Do x
1
ạ
x
2
vi mi m nờn hm s luụn cú cc i, cc tiu. Gi A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2) l
cỏc
im cc tr thỡ
y
1
= f(x
1
)= 2m
3
+3m
2
+ 1; y
2
= f(x
2
) = 2m
3
+ 3m
2
ị
AB =
2
khụng i (pcm!).
Cõu 2.1. Gii h: iu kin: y
ạ
0; x 2y
0; x + 02 - yx .
Pt
0622 = yyx
y
x
6
2
2
2
-
-
-
-
y
yx
y
yx
= 0 ( chia c hai v cho y)
y
yx 2-
= 3 hoc
y
yx 2-
= - 2.
Vi
y
yx 2-
= 3
ợ
ớ
ỡ
+=
>
yyx
y
29
0
2
thay vo pt(2) ta c nghim x =
9
24
,y =
9
4
Vi
y
yx 2-
= -2
ợ
ớ
ỡ
+=
<
yyx
y
24
0
2
thay vo pt(2) ta c nghim: x =12, y = - 2.
Vy h cú hai nghim(x;y) = (12;-2),(
9
4
;
3
8
).
2. Gii phng trỡnh lng giỏc:
iu kin: sin2x
ạ
0. Pt
sin
2
x +
02
sin
cos
sin5)sin21(2
cos
sin
4
cos4
3
22
4
=-+-=
x
x
xx
x
x
x
5 +
x
x
x
23
3
sin
1
.2
sin
cos
-
= 0
cot
3
x 2cot
2
x + 3 = 0
(cotx + 1)(cot
2
x 3cot x + 3)
= 0
cotx = -1 ( Vỡ cot
2
x cotx + 3> 0)
x =
Zkk ẻ+- ,.
4
p
p
(tha món iu kin).
Vy phng trỡnh cú nghim: x =
Zkk ẻ+- ,.
4
p
p
.
Cõu 3.1.Tớnh tớch phõn: Ta cú
'
2
sin
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
x
=
x
x
3
sin
cos2
-
nờn
I =
ũ
-
2
4
2
)
sin
1
(
2
1
p
p
x
xd
=
2
4
2
|
sin
1
.
2
1
p
p
x
x- +
2
4
2
4
2
|cot
2
1
)
22
(
2
1
sin
2
1
p
p
p
p
pp
x
x
dx
=
ũ
=
2
1
.
2. Tớnh th tớch khi chúp: H SH
^
BC
ị
SH
^
(ABC) ( vỡ: (SBC)
^
(ABC) ).
H HM
^
AB, HN
^
AC thỡ
é
SMH =
é
SNH =
a
ị
D
SHM =
D
SHN
ị
HM = HN
ị
H l trung im ca BC ( vỡ tam giỏc ABC u)
ị
HM =
4
3
2
ah
=
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét