Chương 1 : Điều khiển tối ưu
2. Điều kiện thành lập bài toán tối ưu
Để thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu đầu tiên là hệ thống phải có đặc tính
phi tuyến có cực trị .
Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác định chỉ tiêu chất
lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở đây là bảo đảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng
J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác động nhanh thì yêu cầu đối với hệ
là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian
quá độ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá độ . Hay khi tính toán
động cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt được khoảng cách lớn nhất
với lượng nhiên liệu đã cho .
Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t) , tín hiệu điều khiển u(t)
và thời gian t . Bài toán điều khiển tối ưu là xác định tín hiệu điều khiển u(t)
làm cho chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhất
định của u và x .
Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau :
0
[ ( ), ( ), ]
T
J L x t u t t dt=
∫
Trong đó L là một phiếm hàm đối với tín hiệu x , tín hiệu điều khiển u và
thời gian t .
Lấy ví dụ về bài toán điều khiển động cơ điện một chiều kích từ độc lập
kt
constΦ =
với tín hiệu điều khiển u là dòng điện phần ứng i
u
và tín hiệu ra
x là góc quay
ϕ
của trục động cơ .
Hình 1.3 : Động cơ điện một chiều kích từ độc lập .
Ta có phương trình cân bằng moment của động cơ :
Trang 9
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
M u c q
d
k i M M
dt
ω
− =
(1)
d
dt
ϕ
ω
=
(2)
trong đó
M M
k C const= Φ =
; M
q
là moment quán tính ;
ω
là tốc độ góc ;
ϕ
là góc quay . Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục động cơ (
0
c
M =
) thì :
2
2
M u q
d
k i M
dt
ϕ
=
(3)
Nếu xét theo thời gian tương đối bằng cách đặt :
/
M q
t k M
τ
=
thì (3) có dạng :
2
2
u
d
i
d
ϕ
τ
=
(4)
Từ đó ta có :
2
2
d x
u
d
τ
=
(5)
Vậy phương trình trạng thái của động cơ điện là một phương trình vi phân
cấp hai .
• Bài toán tối ưu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu ) :
Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế
1u ≤
để động cơ quay từ vị
trí ban đầu có góc quay và tốc độ đều bằng 0 đến vị trí cuối cùng có góc
quay bằng
0
ϕ
và tốc độ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất .
Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng J sẽ là :
0
[ ( ), ( ), ]
T
J L x t u t t dt T= =
∫
Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có
[ ( ), ( ), ] 1L x t u t t =
.
Như vậy , đối với bài toán tối ưu tác động nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J có
dạng :
∫
==
T
TdtJ
0
1
Trang 10
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
• Bài toán năng suất tối ưu :
Năng suất ở đây được xác định bởi góc quay lớn nhất của động cơ trong
thời gian T nhất định . Khi đó chỉ tiêu chất lượng J có dạng :
0
0 0
[ ( ), ( ), ] ( )
T T
T
J L x t u t t dt t dt
ϕ ϕ ϕ
= = − =
∫ ∫
&
Do đó
[ ( ), ( ), ] ( ) ( )L x t u t t t x t
ϕ
= =
&
&
và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng J đối với
bài toán năng suất tối ưu như sau :
( )
0
T
J x t dt=
∫
&
• Bài toán năng lượng tối thiểu :
Tổn hao năng lượng trong hệ thống :
0
T
u u
Q U i dt=
∫
Dựa vào phương trình cân bằng điện áp :
u u u e
U i R k
ω
= +
và phương trình cân bằng moment :
M u c q
d
k i M M
dt
ω
− =
Ta tính được :
2
0
0 0
( )
T T
e c
u u T u u
M
k M
Q U i dt R i dt
k
ϕ ϕ
= = − +
∫ ∫
Để có được tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm cực tiểu của J :
2
0 0
[ ( ), ( ), ]
T T
u
J L x t u t t dt i dt= =
∫ ∫
Mà dòng điện phần ứng i
u
ở đây chính là tín hiệu điều khiển u . Vì vậy chỉ
tiêu chất lượng J đối với bài toán năng lượng tối thiểu có dạng :
2
0
( )
T
J u t dt=
∫
Trang 11
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
3. Tối ưu hoá tĩnh và động
Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa động .
Tối ưu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian . Còn đối với tối
ưu hóa động thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét
đến .
1.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu
1. Tối ưu hóa không có điều kiện ràng buộc
Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng
( )
0=uL
được cho trước là một hàm
của một vector điều khiển hay một vector quyết định
m
Ru ∈
. Chúng ta cần
chọn giá trị của u sao cho L(u) đạt giá trị nhỏ nhất .
Để giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên của
L(u) như sau :
)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++=
(1.1)
Với O(3) có thể coi là số hạng thứ 3 . Grad của L theo u là một vector m
cột :
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂
∂
∆
m
u
uL
uL
uL
u
L
L
/
/
/
2
1
(1.2)
và đạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận
Hessian ) :
∂∂
∂
=
∂
∂
∆
ji
uu
uu
L
u
L
L
2
2
2
(1.3)
L
uu
được gọi là ma trận uốn .
Một điểm cực trị hoặc điểm dừng xuất hiện khi sự biến thiên dL với thành
phần thứ nhất tiến về 0 với mọi biến thiên du trong quá trình điều khiển . Vì
vậy , để có điểm cực trị thì :
0=
u
L
(1.4)
Trang 12
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
Giả sử đang ở tại điểm cực trị , có L
u
= 0 như (1.4) . Để điểm cực trị trở
thành điểm cực tiểu , chúng ta cần có :
)3(
2
1
OduLdudL
uu
T
+=
(1.5)
là xác định dương với mọi sự biến thiên du . Điều này được đảm bảo nếu ma
trận uốn L
uu
là xác định dương :
0>
uu
L
(1.6)
Nếu L
uu
là xác định âm thì điểm cực trị chính là điểm cực đại ; còn nếu L
uu
là không xác định thì điểm cực trị chính là điểm yên ngựa . Nếu L
uu
là bán
xác định thì chúng ta sẽ xét đến thành phần bậc cao hơn trong (1.1) để xác
định được loại của điểm cực trị .
Nhắc lại : L
uu
là xác định dương ( hoặc âm ) nếu như các giá trị riêng của nó
là dương ( hoặc âm ) , không xác định nếu các giá trị riêng của nó vừa có
dương vừa có âm nhưng khác 0 , và sẽ là bán xác định nếu tồn tại giá trị
riêng bằng 0 . Vì thế nếu
0=
uu
L
, thì thành phần thứ hai sẽ không hoàn
toàn chỉ ra được loại của điểm cực trị .
2. Tối ưu hóa với các điều kiện ràng buộc
Cho hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng
( )
uxL ,
, với vector điều khiển
m
Ru ∈
và vector trạng thái
n
Rx ∈
. Bài toán đưa ra là chọn u sao cho hàm
chỉ tiêu chất lượng L(x,u) đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn đồng thời các
phương trình điều kiện ràng buộc .
( )
0, =uxf
(1.7)
Vector trạng thái x được xác định từ một giá trị u cho trước bằng mối quan
hệ (1.7) , vì thế f là một hệ gồm n phương trình vô hướng ,
n
Rf ∈
.
Để tìm điều kiện cần và đủ của giá trị cực tiểu , đồng thời thỏa mãn
( )
0, =uxf
, ta cần làm chính xác như trong phần trước . Đầu tiên ta khai
triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau đó xác định số hạng thứ nhất và thứ
hai .
Thừa số Lagrange và hàm Hamilton .
Tại điểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của
du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có:
0=+= dxLduLdL
T
x
T
u
(1.8)
Trang 13
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
và:
0=+= dxfdufdf
xu
(1.9)
Từ (1.7) ta xác định được x từ giá trị u đã có, độ biến thiên dx được xác định
bởi (1.9) từ giá trị biến thiên du đã có . Như vậy , ma trận Jacobi f
x
không
kỳ dị và :
duffdx
ux
1−
−=
(1.10)
Thay dx vào (1.8) ta được :
duffLLdL
ux
T
x
T
u
)(
1−
−=
(1.11)
Đạo hàm riêng của L theo u chứa hằng số f được cho bởi phương trình :
( )
x
T
x
T
uu
T
ux
T
x
T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=
∂
∂
1
0
(1.12)
với
( )
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lưu ý rằng :
u
dx
L
u
L
=
∂
∂
=0
(1.13)
Để thành phần thứ nhất của dL bằng không với giá trị du tùy ý khi
0=df
,
ta cần có :
0=−
−
x
T
x
T
uu
LffL
(1.14)
Đây là điều kiện cần để có giá trị cực tiểu . Trước khi đi tìm điều kiện đủ ,
chúng ta hãy xem xét thêm một vài phương pháp để có được (1.14) .
Viết (1.8) và (1.9) dưới dạng:
0=
=
du
dx
ff
LL
df
dL
ux
T
u
T
x
(1.15)
Hệ phương trình tuyến tính này xác định một điểm dừng , và phải có một
kết quả
[ ]
T
TT
dudx
. Điều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số
( ) ( )
mnn +×+1
có hạng nhỏ hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng của ma trận tuyến tính với nhau
để tồn tại một vector
λ
có n số hạng như sau:
[ ]
0.1 =
ux
T
u
T
x
T
ff
LL
λ
(1.16)
Hay:
Trang 14
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
0=+
x
TT
x
fL
λ
(1.17)
0=+
u
TT
u
fL
λ
(1.18)
Giải (1.17) ta được
λ
:
1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
(1.19)
và thay vào (1.18) để có được (1.14) .
Vector
n
R∈
λ
được gọi là thừa số Lagrange , và nó sẽ là công cụ hữu ích
cho chúng ta sau này . Để hiểu thêm ý nghĩa của thừa số Lagrange ta xét du
= 0 , từ (1.8) và (1.9) ta khử dx để được :
dffLdL
x
T
x
1−
=
(1.20)
Vì vậy:
( )
λ
−==
∂
∂
−
=
T
x
T
x
du
fL
f
L
1
0
(1.21)
Do đó -
λ
là đạo hàm riêng của L với biến điều khiển u là hằng số . Điều này
nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến điều khiển không đổi
khi điều kiện thay đổi .
Như là một cách thứ ba để tìm được (1.14) , ta phát triển thêm để sử dụng
cho các phân tích trong những phần sau . Kết hợp điều kiện và hàm chỉ tiêu
chất lượng để tìm ra hàm Hamilton .
( ) ( ) ( )
uxfuxLuxH
T
,,,,
λλ
+=
(1.22)
Với
n
R∈
λ
là thừa số Lagrange chưa xác định . Muốn chọn x , u ,
λ
để có
được điểm dừng , ta tiến hành các bước sau .
Độ biến thiên của H theo các độ biến thiên của x , u ,
λ
được viết như sau :
λ
λ
dHduHdxHdH
TT
u
T
x
++=
(1.23)
Lưu ý rằng :
),( uxf
H
H =
∂
∂
=
λ
λ
(1.24)
Giả sử chúng ta chọn các giá trị của u thỏa mãn :
0=
λ
H
(1.25)
Trang 15
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
Sau đó ta xác định x với giá trị của u đã có bằng phương trình điều kiện ràng
buộc
( )
0, =uxf
. Trong trường hợp này hàm Hamilton tương đương với
hàm chỉ tiêu chất lượng:
LH
f
=
=0
(1.26)
Nhắc lại : nếu f = 0 , ta sẽ tìm được dx theo du từ (1.10) . Ta không nên xét
mối quan hệ giữa du và dx để thuận tiện trong việc chọn
λ
sao cho :
0=
x
H
(1.27)
Sau đó , từ (1.23) , độ biến thiên dH không chứa thành phần dx. Điều này
mang lại kết quả
λ
:
0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H
(1.28)
hay
1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
.
Nếu giữ nguyên (1.25) và (1.27) thì:
duHdHdL
T
u
==
(1.29)
Vì H = L, để có được điểm dừng ta phải áp đặt điều kiện:
0=
u
H
(1.30)
Tóm lại , điều kiện cần để có được điểm cực tiểu của L(x,u) thỏa mãn điều
kiện ràng buộc f(x,u) = 0 gồm có :
0==
∂
∂
f
H
λ
(1.31a)
0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H
(1.31b)
0=+=
∂
∂
λ
T
uu
fL
u
H
(1.31c)
Với
( )
λ
,,uxH
xác định bởi (1.22) . Cách thường dùng là từ 3 phương trình
đã cho xác định x ,
λ
, và u theo thứ tự tương ứng . So sánh 2 phương trình
(1.31b) và (1.31c) ta thấy chúng tương ứng với 2 phương trình (1.17) và
(1.18) .
Trong nhiều ứng ụng , chúng ta không quan tâm đến giá trị của
λ
, tuy nhiên
ta vẫn phải đi tìm giá trị của nó vì đó là một biến trung gian cho phép chúng
ta xác định các đại lượng cần tìm là u , x và giá trị nhỏ nhất của L .
Trang 16
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
Ưu điểm của thừa số Lagrange có thể tóm tắt như sau : trên thực tế , hai đại
lượng dx và du không phải là hai đại lượng biến thiên độc lập với nhau ,
theo (1.10) . Bằng cách đưa ra một thừa số bất định
λ
, chúng ta chọn
λ
sao
cho dx và du có thể được xem là hai đại lượng biến thiên độc lập với nhau .
Lấy đạo hàm riêng của H lần lượt theo các biến như trong (1.31) , như thế ta
sẽ có được điểm dừng .
Khi đưa ra thừa số Lagrange , chúng ta có thể thay thế bài toán tìm giá trị
nhỏ nhất của L(x,u) với điều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá trị nhỏ nhất của hàm Hamilton H(x,u,
λ
) không có điều kiện ràng buộc .
Điều kiện đã (1.31) xác định một điểm dừng . Ta sẽ tiếp tục chứng minh đây
là điểm cực tiểu như đã thực hiện trong phần trước .
Viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên của L và f như sau :
[ ] [ ]
)3(
2
1
O
du
dx
LL
LL
dudx
du
dx
LLdL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
+
+
=
(1.32)
[ ]
[ ]
)3(
2
1
O
du
dx
ff
ff
dudx
du
dx
ffdf
uuux
xuxx
TT
ux
+
+
=
(1.33)
Với:
xu
f
f
xu
∂∂
∂
=
∆
2
Để đưa ra hàm Hamilton , ta sử dụng các phương trình sau :
[ ] [ ] [ ]
)3(
2
1
1 O
du
dx
HH
HH
dudx
du
dx
HH
df
dL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
T
+
+
=
λ
(1.34)
Bây giờ , để có được điểm dừng ta cần có
0=f
, và đồng thời thành phần
thứ nhất của dL bằng 0 với mọi sự biến thiên của dx và du . Vì
0=f
nên
0=df
, và điều này đòi hỏi
0=
x
H
và
0=
u
H
như trong (1.31) .
Để tìm điều kiện đủ cho điểm cực tiểu , chúng ta xét đến thành phần thứ
hai . Đầu tiên , ta cần xem mối quan hệ giữa dx và du trong (1.34) . Giả sử
Trang 17
Chương 1 : Điều khiển tối ưu
rằng chúng ta đang ở điểm cực trị nên
0=
x
H
,
0=
u
H
và
0=df
. Sau đó,
từ (1.33) ta có :
)2(
1
Oduffdx
ux
+−=
−
(1.35)
Thay vào (1.34) ta được :
[ ]
)3(
2
1
1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
T
+
−
−=
−
−
(1.36)
Để đảm bảo đây là điểm cực tiểu , dL trong (1.36) phải dương với mọi sự
biến thiên của du . Điều này được đảm bảo nếu như ma trận uốn với f luôn
bằng 0 là xác định dương .
[ ]
uxxx
T
x
T
uuxuxxu
T
x
T
uuu
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
f
uu
f
uu
ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−
−
−
∆
+−−=
−
−==
(1.37)
Lưu ý rằng nếu điều kiện ràng buộc
( )
0, =uxf
với mọi x và u thì (1.37)
được rút lại thành L
uu
ở phương trình (1.6) .
Nếu (1.37) là xác định âm ( hoặc không xác định ) thì điểm dừng sẽ là điểm
cực đại ( hoặc điểm yên ngựa ) .
1.1.3 Ví dụ
Tối ưu hóa không có điều kiện ràng buộc
Ví dụ 1.1 : Không gian toàn phương .
Cho
2
Ru ∈
và :
[ ]
ussu
qq
qq
uuL
T
21
2212
1211
2
1
)( +
=
(1)
uSQuu
TT
+=
∆
2
1
(2)
Điểm cực trị được xác định bởi :
0=+= SQuL
u
(3)
SQu
1−∗
−=
(4)
Trang 18
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét