2
Chuyên đề:
Chuyên đề:
Tính chất chia hết trong tập N
Tính chất chia hết trong tập N
I. Lý thuyết:
1) Định nghĩa:
Với 2 số tự nhiên a,b (b khác 0), luôn tồn tại 2 số tự nhiên q
v r sao cho a=b.q+r v i
)0( br
<
Nếu r=0 thì a=b.q =>
(a là bội của b và b là ước của a)
Nếu
thì
ba
và r là số dư của phép chia a cho b
Với a,b,c là các số tự nhiên ta có:
2) Một số tính chất
aa
0
a
a0
0
a
1a
Na
ba
cb
cba
0
c
ca
ca
cb
0
c
ba
0
r
với
2.1
2.2
với
;
với
2.3 Nếu
và
thì
với
2.4 Nếu và thì
với
3
Suy ra: Nếu
cba
và
ca
thì
cb
với
0
c
Nếu và
thì
cba
với
0
c
2.5Nếu
ca
thì
cak .
với
0
c
Nk
,
Suy ra: Nếu
ca
và
cb
thì
( )
cbnam
với
0
c
và
Nnm
,
Nếu
ca
thì
nn
ca
với
0
c
,
Nn
2.6Nếu
ma
nb
nmba
*
. Nnm
và thì với
2.7Nếu
ba
ca
cba .
0,
cb
và
mà b và c nguyên tố cùng nhau thì
với
2.8Nếu
cba .
mà b và c nguyên tố cùng nhau thì
ca
với
0
c
2.9Nếu
pa
n
pa
mà p là số nguyên tố thì
2.10 Nếu
ba
và
ca
thì
),( cbBCNNa
với
0, cb
ca
cb
4
3) Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
a. Dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc 5)
2Aa
2a
(hoặc 5) (hoặc 5)
b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
3
0121
aaaaa
nnn
( )
3
0121
aaaaa
nnn
+++++
(hoặc 9)
(hoặc 9)
c. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
4Aab
4ab
(hoặc 25) (hoặc 25)
d. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
8Aabc
8cab
(hoặc 125)
(hoặc 125)
e. Dấu hiệu chia hết cho 11
11A
Tổng các chữ số ở hàng chẵn trừ đi tổng
các chữ số ở hàng lẻ của số A là một số chia hết cho 11 (với
tổng các chữ số ở hàng chẵn lớn hơn tổng các chữ số ở hàng lẻ)
5
6
Chuyên đề:
Tính chất chia hết trong tập N
I. Lý thuyết:
I. Lý thuyết:
1. Định nghĩa
2. Một số tính chất
3. Một số dấu hiệu chia hết
II
II
. Một số dạng toán
. Một số dạng toán
1.Dạng toán1: Chứng minh tính chất chia hết
Ví dụ 1: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
Ví dụ 2: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
Ví dụ 3: Chứng minh tính chất:
ba
Nếu
và
cb
ca
thì
7
II. Một số dạng toán
II. Một số dạng toán
1. Dạng toán 1: Chứng minh tính chất chia hết
Ví dụ 4: Chứng minh tính chất: Nếu
ca
cb
cba
và
thì
với
0;,,
cNcba
Giải: Vì
ca
=>
a=k.c với
Nk
Vì
cb
=>
b=q.c với
Nq
=> a+b=k.c+q.c=(k+q).c
c
Nqk
+
vì
=>
a+b
c
* Với phép trừ và một số tính chất khác ta cũng chứng
minh tương tự như vậy
Ví dụ 5: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 25
2525 abAab
Giải:
Ta có:
=
Aab
abA
+
.100
abA
+=
.4.25
Nếu
25Aab
25).4.25( abA +
mà
25.4.25 A
25ab
Nếu
25ab
mà
25.4.25 A
25).4.25( abA +
25Aab
=>
Vậy
2525 abAab
*Với các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; và 125 ta cũng cm tương tự còn dấu
hiệu chia hết cho 11 thì cm tương tự như dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
8
2. Dạng toán 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho một số
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng:
a) Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Giải:
a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp có dạng a, a+1
)( Na
Vì
Na
nên a có thể chẵn hoặc lẻ
Cách 1:
Nếu a chẵn =>
2a
=>
2)1.(
+
aa
Nếu a lẻ =>
a+1 chẵn =>
21
+
a
=>
2)1.(
+
aa
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Cách 2:
Vì
Na
nên a chia 2 có thể dư 0 hoặc 1,
tức là a có dạng
2k hoặc 2k+1
)( Nk
Nếu a=2k mà
22 k
2a
=>
=>
2)1.(
+
aa
Nếu a=2k+1 => a+1=2k+2 = 2.(k+1)
2
2)1.(
+
aa
=>
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
9
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2
)( Na
Vì
Na
nên a có thể nhận 1 trong các dạng 3k, 3k+1, 3k+2
với
)( Nk
Nếu a=3k mà
33 k
=>
3a
=>
3)2).(1.(
++
aaa
Nếu a=3k+1 => a+2=
3k+1+2=3k+3 =3.(k+1)
3
32+ a
=>
3)2).(1.(
++
aaa
Nếu a=3k+2 => a+1=
3k+2+1=3k+3
=3.(k+1)
3
31+a
=> =>
3)2).(1.(
++
aaa
Suy ra tích
3)2).(1.(
++
aaa
với
Na
Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
?
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 2 không?
Suy ra tích của 3 số tự nhiên liên tiếp còn chia hết cho số
nào? Vì sao?
* Nhận xét: Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n với n khác 0
10
*Dự đoán Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho mấy ?
Giải: Tích của 2 số chẵn liên tiếp có dạng
2k.(2k+2),
)( Nk
Ta có 2k.(2k+2) =
2k.2.(k+1) = 4.k.(k+1)
mà k.(k+1)
2
=> 4.k.(k+1)
8
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
* Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
?
Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số nào?
Giải: Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp có dạng
A = a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4),
)( Na
Theo ví dụ 6 suy ra
3A
5A
và
mà trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp
nên tích của 2 số chẵn đó chia hết cho 8
8A
Vì
3A
; 5 và 8
mà 3; 5 và 8 là các số nguyên tố cùng nhau
)8.5.3(A
120A
hay
*Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
11
Ví dụ 7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
Chứng minh (p-1).(p+1) chia hết cho 24
Giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
Np
và p >3
nên p-1, p, p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp
=> Tích (p-1).p.(p+1)
3
(theo VD6)
mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ và
3p
=>
3)1).(1(
+
pp
(1)
Vì p là số lẻ nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>
8)1).(1(
+
pp
(2)
Từ (1) và (2) => (p-1).(p+1)
24
(vì 3 và 8 là 2 số nguyên
tố cùng nhau)
Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1).(p+1) chia hết
cho 24
12
Ví dụ 8: Chứng minh rằng
210
+
n
chia hết cho 3 nhưng
không chia hết cho 9 với
*
Nn
*Chứng minh:
3210
+
n
-Cách 1: Ta có
( )
=+=+
3110210
nn
=+ 39 999
9
cson
)13 33.(3
3
+
cson
=+=
1.33 333.3
3
cson
3
3210
+
n
(đpcm)
-Cách 2: Ta có
=+=+
20 001210
0
cson
n
20 001
0.)1(
cson
Vì số
20 001
0.)1(
cson
có tổng các chữ số là 1+2=3
3
nên số
20 001
0.)1(
cson
3
3210
+
n
(đpcm)
-Cách 3: Vì 10 chia 3 dư 1 nên
n
10
chia 3 dư
11
=
n
210
+
n
=>
chia 3 dư 1+2=3 mà 3 chia 3 dư 0
=>
210
+
n
chia 3 dư 0
3210
+
n
(đpcm)
Trong 3
cách làm
bên, theo
em cách
làm nào dễ
nhất? Có
thể làm ý 2
theo cách
đó được
không?
Em hãy
thực hiện?
13
*Chứng minh:
9210
+
n
Ta có
=+=+
20 001210
0
cson
n
20 001
0.)1(
cson
có tổng các chữ số là 3
mà 3 không chia hết cho 9 =>
9210
+
n
Vậy
210
+
n
chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
*
, Nn
?
Em hãy đặt yêu cầu khác cho bài toán mà không làm thay
đổi lời giải của bài toán?
*Nhận xét: Bài toán trên có thể đặt yêu cầu khác là: Tìm số dư
của phép chia số
210
+
n
cho 3, cho 9
*
, Nn
*Vận dụng: Tìm số dư của phép chia số
810
100
+
cho 3, cho 9
*Vậy để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một số tự
nhiên a khác 0 ta làm như thế nào?
*Nhận xét:
*Nhận xét: Để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một
số tự nhiên a khác 0 ta làm như sau:
NK
-
Cách 2: Chứng tỏ rằng M chia a dư 0
- Cách 1: Đưa biểu thức M về dạng M=a.K với
- Cách 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết (trực tiếp hoặc gián tiếp)
(gián tiếp: Tức là chứng tỏ M chia hết cho tất cả các số tự
nhiên x,y, khác 0 mà x,y, là các số nguyên tố cùng
nhau và tích x.y = a)
Ngoài ra còn có rất nhiều cách chứmg minh khác nữa, các em
sẽ được tìm hiểu dần trong hoc kì II và ở lớp 7,8,9
14
Để củng cố nhận xét trên, ta làm bài tập sau:
Ví dụ 9: Chứng minh rằng a+4b
13
<=> 10a+b
13
),(, Nba
Giải:
- Cách 1: Ta có 10.(a+4b)=10a+40b=(10a+b)+39b
Nếu a+4b
13
=>10.(a+4b)
13
=>(10a+b)+39b
13
mà 39b =>10a+b
13
Nếu 10a+b
13
mà 39b
13
=>(10a+b)+39b
13
=>10a+40b
13
=>10.(a+4b) mà 10 và 13 là 2 số
nguyên tố cùng nhau => a+4b
13
(1)
(2)
Từ (1) và (2) =>
13
<=> 10a+b
13
),(, Nba
a+4b
(đpcm)
13
15
- Cách 2: Ta có 4.(10a+b)=40a+4b=39a+(a+4b)
Nếu a+4b
13
mà 39a
13
=> 4.(10a+b)
13
mà 4 và 13 nguyên tố cùng nhau
=> 10a+b
13
(1)
Nếu 10a+b
13
=>4.(10a+b)
13
=> 39a+(a+4b)
13
mà 39a
13
=> a+4b
13
(2)
Từ (1) và (2) =>
13
<=> 10a+b
13
),(, Nba
a+4b (đpcm)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét