133
()
2
1
sw
1
1
1
C
exp
4a
TT
.
a
C
erf
2a
+
()
2
2
os
2
2
2
C
exp
4a
TT
.
a
C
erfc
2a
=
2
C
Wl
2
. Nếu đặt C =
1
K2 a
, tức K =
1
C
2a
ta có phơng
trình để xác định C nh sau:
()
()
2
2
2
1
os
21
1sw 2
2
1
a
exp K
exp K
a
TT
a
erf K T T a
a
erfc K
a
+
=
()
21
sw1
lW a
K
TT
.
Đặt
()
21
o
sw1
lW a
K
TT
=
, phơng trình có dạng:
f(K) =
()
o
KK
Giải bằng đồ thị
ta có K và tìm đợc C =
1
K2 a
K.
Hằng số K
o
là 1 đại lợng không thứ
nguyên, đợc gọi là tiêu chuẩn (hoặc
số) Koccivich
* Chuyển về dạng không thứ nguyên bằng cách đặt F
ox
=
1
2
a
x
,
Fox gọi là biến Fourier của toạ độ và thời gian, K
a
=
2
1
a
a
, ta có nghiệm
của bài toán đã nêu ở dạng không thứ nguyên nh sau:
()
1w
1
sw
Tx, T
TT
=
=
()
()
ox
1ox
1
erf
2F
F
erf K
=
y
o
K
y=f(K)
y=
K
o
K
K=c/2
1
a
H58. Để xác định K và C.
134
()
o2
2
os
TTx,
TT
=
=
()
()
aox
2ox
a
1
erfc
2KF
F
erfc K K
=
7.2.4. Tính gần đúng trong kỹ thuật:
* Do các chuỗi của erf(x) và exp(x
2
) hội tụ rất nhanh khi n tăng,
nên với độ chính xác cho phép của kỹ thuật, có thể chỉ cần lấy số hạng
đầu của các chuỗi này (ứng với n = 0) khi tính toán, tức là coi:
()
erf x
=
()
()
n
2n 1
n0
1x
2
n! 2n 1
+
=
+
=
&
2
x
( ) ( )
erfc x 1 erf x=
=
&
2
1x
2
C
exp
4a
=
n
2
n0
1C
n! 4a
=
=
&
1. Khi đó có:
1
C
erf
2a
=
&
1
2C
.
2a
=
1
C
a
2
C
erfc
2a
=
&
1 -
2
C
a
Khi đó phơng trình ĐKB loại 5 để xác định C sẽ có dạng:
()
sw 1
1
1
TT a
Ca
+
( )
os
2
2
2
TT
C
1a
a
=
2
C
Wl
2
hay C
2
=
()( )
1s w 1o s
22
2
2TT 2TT
C
lw lw
aC
+
* Xét trờng hợp T
o
= T
s
, tức là khi nhiệt độ ban đầu của pha ẩm
bằng nhiệt độ đóng băng.
135
Khi T
o
= T
s
ta có: C =
( )
1s w
2
2TT
lW
Nếu pha ẩm (2) là nớc, có độ ẩm w = 1, thì C =
()
1
2
1
sw
2
2
TT
l
- Lúc này, trờng nhiệt độ trong 2 pha có dạng:
T
1
(x,
)
=
&
T
w
+ (T
s
- T
w
)
1
a
C
1
x
erf
2a
hay
T
1
(x,
)
=
&
T
w
+ (T
s
- T
w
)
()
2
1s w
lW
x
.
2TT
()
()
()
2
1w sw
1
2os
lf W
x
Tx, T T T .
2
Tx, T T const
= +
= = =
- Vận tốc dịch chuyển biên, tức vận tốc đóng băng, là:
d
d
=
C
2
=
( )
()
1s w
2
TT
f
2l W.
=
, tổng quát
d
d
= K
1
a
, với
K =
1
C
2a
=
1s w
21
(T T )
2l Wa
.
Vậy vận tốc đóng băng chỉ phụ thuộc
, đồng biến theo
1
, T
s
nghịch biến theo T
w
, l,
2
, W và
.
Vận tốc đóng băng tỷ lệ nghịch với
, tức là khi
tăng 4 lần thì
vận tốc giảm 2 lần.
Biên chuyển động chậm dần với gia tốc
'' =
2
2
d
d
=
( )
1s w
23
TT
1
22lW
, [m/s
2
]
Nhận xét: Gia tốc có trị âm, làm biên di chuyển chậm dần. Khi
lớn, có thể coi gia tốc
'' = 0.
2
=
&
=
&
3
136
Lúc này biên di chuyển gần nh đều,
nhng rất chậm.
7.2.5. Tính độ dày lớp băng tại thời
điểm
* Trờng hợp tổng quát, độ dày lớp băng
tại thời điểm
là
x =
= C
, với C =
1
2aK
, tức x =
=
1
2K a
, [m]
* Trờng hợp T
o
= T
s
và tính gần đúng bậc 1 theo x, có
C =
()
1
sw
2
2
TT
lW
nên độ dày lớp băng là
x =
=
()
1
sw
2
2
TT
lW
, [m]
* Nếu pha (2) là nớc, có W = 1, ở điều kiện T
o
= T
s
thì
x =
=
()
1
sw
2
2
TT
l
, m
7.2.6. Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho
= L.
* Trờng hợp tổng quát với lớp băng phẳng, rộng
, thời gian đạt
tới độ dày
= L = C
là
=
2
2
2
2
1
1
LL L
C
2aK
4a K
==
, [s]
* Trờng hợp T
o
= T
s
và tính gần đúng bậc 1, có
=
()
2
2
1s w
lWL
2TT
, [s]
* Với nớc ở T
o
= T
s
thì thời gian để tạo lớp băng phẳng, dày L là
(cho W = 1):
=
()
2
2
o
1s w 1
l
LL
.K
TT 2 2a
=
o
'
"
c
'
2
=
H59. Vận tốc và gia tốc
của mặt băng x =
3
"
4
c
=
137
7.3. Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
7.3.1. Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
là tính thời gian để nhiệt độ cực đại trong vật bằng 1 trị số cho trớc.
Thời gian đông lạnh
gồm 2 giai đoạn:
=
o
+
1
, trong đó
o
là
thời gian để hoá rắn toàn bộ vật ẩm, có nhiệt độ tâm vật bằng T
s
, còn
1
là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ T
s
đến nhiệt độ T
k
cho tr-
ớc, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông
Việc tính
1
có thể dựa vào kết quả của bài toán dẫn nhiệt không
ổn định trong vật rắn 1 pha.
Sau đây ta sẽ tính
o
theo phơng pháp gần đúng. Phép tính gần
đúng sẽ dựa trên các giả thiết sau:
7.3.2. Các giả thiết
1. Các vật ẩm hữu hạn có dạng đối xứng
2. Điều kiện biên ngoài vật có tính đối xứng, loại 1
3. Nhiệt độ ban đầu trong vật ẩm là đồng nhất, và bằng nhiệt độ
hoá rắn: T
2
(M,
) = T
s
4. Trong lớp vật rắn tạo thành sau chuyển pha, phân bố nhiệt độ là
tuyến tính đối với biên di động x =
7.3.3. Tính thời gian làm đông
o
1. Đông đặc vật ẩm phẳng, rộng
2L, có T
o
= T
s
, có
1
, l,
2
hai biên
ngoài có T
w
= const < T
o
đối xứng.
Bài toán này có mô hình giống mô
hình bài toán ở trên.
Điều kiện biên loại 5 trên biên
di động x =
là:
1
T
1x
(
,
)-
2
T
2x
(
,
)=l
2
d
d
W
o
x
T
L
-L
T
T
0
s
T
W
T
W
H60. Làm đông vật phẳng
do T
2
(x,
) = T
s
= const nên T
2x
(
,
) = 0
138
H61. Làm đông vật trụ
H62. Làm đôn
g vật cầu
T
W
T
s
t
r
o
R
R
r
T
W
T
s
o
Do T
1
(x,
) tuyến tính với x =
tại
nên
T
1x
(
,
) =
sw
TT
Vậy phơng trình cân bằng nhiệt trên biên W
5
có dạng:
sw
1
TT
=
2
d
lW
d
hay
( )
1s w
2
TT
dd
lW
=
Thời gian làm đông
o
ứng với khi
= L nên có:
L
o
d
=
( )
o
1s w
o
2
TT
d
lW
( )
2
1s w
o
2
TT
L
2lW
=
Vậy
o
=
()
22
2
o
1s w 1
lW
LL
.K
TT 2 2a
=
, với K
o
=
()
21
1s w
lWa
TT
2. Đông đặc vật ẩm hình trụ giải tơng tự nh trên, ta đợc
o
=
()
22
2
o
1s w 1
lW
RR
.K
TT 4 4a
=
3. Bài toán làm đôn
g vật ẩm
hình cầu cho kết quả
o
=
()
22
2
o
1s w 1
lW
RR
.K
TT 6 6a
=
Các công thức trên khi tính
cho khối chất lỏng hoàn toàn thì
lấy W = 1
7.3.4. So sánh thời gian
o
:
- Nếu các vật phẳng, trụ, cầu có cùng độ dầy tức R = L thì ta có:
of
= 2
ot
= 3
oc
Với vật ẩm hình dạng bất kỳ, thời gian đóng băng
o
tỷ lệ thuận
với bình phơng độ dầy của vật. Độ dầy của vật đợc hiểu là khoảng
cách trung bình giữa hai mặt đợc làm lạnh của vật. Do đó, để giảm
139
thời gian thời gian đông kết, nên giảm độ dầy cuả vật ẩm.
7.4. Bài toán đông kết vật đúc
7.4.1. Phát biểu bài toán
Khi tính đông kết vật đúc, thờng coi vùng kim loại lỏng có nhiệt
độ phân bố đều, bằng nhiệt độ nóng chảy t
s
. Khi đó chỉ cần tìm độ dày
lớp kim loại đông kết
=
(
) và tốc độ biên
, tức tốc độ ngng kết
d
d
= f(
) trên cơ sở giả thiết nh ở mục (7.2.3), tức là coi trờng
nhiệt độ trong lớp đã hoá rắn là tuyến tính với x =
.
Khi đó bài toán là:
()
()
xx
s
sw
x
tt'd
''l
xx d
00
t' x , t const
tt
t
x
= =
=
=
= =
> = =
=
d
d
t
t
t
o
s
w
x
q
s
()
'
c
,
,
,
c
x
=
H63. BT đông kết vật đúc
7.4.2. Tính
(
) và tốc độ đông kết
Do t' = const nên
t'
x
= 0. Ta có phơng trình:
ws
tt
=
d
'l
d
hay
()
sw
dttd
'l
=
Tích phân phơng trình có
2
1
2
=
()
sw
tt C
'l
+
Theo
(
= 0) = 0 = C. Vậy:
=
()
[]
sw
2
tt ,m
'l
Tốc độ đông kết là
' =
d
d
=
( )
sw
tt
2'
, [m/s]
'
140
Nếu vật đúc dày 2L, 2 biên loại 1 đối xứng thì thời gian đông kết
là:
=
()
22
o
sw
'l L L
.K
tt 2 2a
=
, [s]
7.5. Tính truyền nhiệt khi nóng chảy lớp bảo vệ vỏ phi thuyền có vận tốc lớn
7.5.1. Vấn đề bảo vệ nhiệt cho vỏ phi thuyền
Khi bay vào khí quyển với vận tốc lớn, do ma sát với không khí,
vỏ phi thuyền sẽ nhận 1 lợng nhiệt rất lớn.
H64. Lớp bảo vệ vỏ tàu bằng vật liệu nóng chảy
Lợng nhiệt này tỷ lệ với lực cản của không khí F =
2
k
1
KvS
2
và
vận tốc v của tàu, và bằng:
Q
o
=
3
k
1
KvS
2
, [W] hay
q
o
=
3
o
k
Q
1
Kv
S2
=
, [W/m
2
]
Lợng nhiệt nhận vào có thể làm nhiệt độ vỏ tàu tăng rất cao, gây
nguy hại cho cả con tàu. Do đó, ngơì ta phải tìm cách giải thoát lợng
nhiệt này, bảo đảm cho nhiệt độ thành tàu không vợt quá 1 giá trị an
toàn T
k
nào đó.
Giải pháp hiện nay là bọc vỏ tàu bằng 1 lớp vật liệu có nhiệt độ
nóng chảy T
s
không lớn hơn T
k
nói trên, T
s
< T
k
. Nhiệt ma sát làm
nóng chảy lớp vỏ này rồi thoát ra khí quyển.
Việc thiết kế lớp bảo vệ nhiệt bao gồm việc chọn vật liệu thích
hợp, xác định trờng nhiệt độ trong lớp nhận nhiệt nóng chảy, tính vận
T
s
T
K
T
O
c
l
T
S
v
q
o
141
tốc nóng chảy và xác định độ dày đủ an toàn cho chuyến bay. Sau mỗi
chuyến bay, lớp bảo vệ sẽ bị nóng chảy rồi thoát cả nhiệt lẫn chất vào
khí quyển, và ngời ta sẽ bọc lại cho lần bay tiếp theo.
7.5.2. Phát biểu bài toán lớp nóng chảy
Tìm trờng nhiệt độ T(y,
) trong lớp vật liệu có các thông số vật
lý (
, C,
, l, T
s
) cho trớc, có biên nóng chảy cho bởi hệ phơng trình
vi phân sau:
()
()( )
()
2
2
o
s
o
0
0
TT
a
y
Ty, 0 T , T
T
T0
T0,T
T
ql
=
=
=
= = =
=
= =
=
7.5.3. Xác định trờng nhiệt độ trong lớp nóng chảy
Gọi vận tốc di động biên nóng chảy
là W =
d
d
. Chuyển bài toán
(T) sang hệ toạ độ động (
,
) bằng cách đổi biến
= y - W
. Khi đó
TT T
.W
==
và
22
22
TT
y
=
nên phơng trình vi
phân T
= aT
yy
có dạng:
2
2
TT
Wa
=
hay T
+
W
T
a
= 0
Nghiệm tổng quát là T(
) = A exp
W
a
+ B, với các hằng số A,
B tìm theo ĐKB:
T(
= 0) = T
s
= A + B
B = T
o
T(
) = T
o
= B
A = T
s
- T
o
(W
5
)
H65. Bài toán biên nóng chảy
T
s
T
K
T
O
q
O
T
c
,l
W
W
=
d
d
=
y
-
W
O
y
142
Vậy trờng T có dạng:
T(
) = (T
s
- T
o
) exp
W
a
+ T
o
Hay ở dạng không thứ nguyên
(
) =
o
so
TT
TT
= exp
W
a
7.5.4. Xác định vận tốc nóng chảy
Vận tốc nóng chảy W =
d
d
đợc xác định theo ĐKB (W
5
)
q
o
=
0
T
lW
=
=
lw +
(T
s
- T
o
)
W
a
hay, do
c
a
=
nên:
q
o
=
lw + C
w(T
s
- T
o
) = w
[l + C(T
s
- T
o
)]
Vậy vận tốc nóng chảy bằng
W =
d
d
=
()
o
so
q
lCT T+
, [m/s]
Trờng nhiệt độ trong lớp vỏ bảo vệ cho bởi:
()
()
()
()
()
()
o
so o
so
o
so
qC
TTTexp T
lCT T
Ty,
q
y
lCT T
= +
+
=
+
()
()
()
()
oo
so o
so so
qC q
Ty, T T exp y T
lCTT lCTT
= +
+ +
7.5.5. Tính lợng nhiệt dẫn vào vỏ tàu
Mục đích của lớp bảo vệ là khử bỏ phần lớn nhiệt lợng sinh ra do
ma sát. Phần nhiệt còn lại sẽ dẫn vào trong, làm tăng nội năng của lớp
bảo vệ còn lại và dẫn tiếp vào thành tàu, phần nhiệt này bằng:
với
, hoặc cụ thể hơn, là:
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét