ứng dụng của quan hệ thứ tự trong giải tích

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "ứng dụng của quan hệ thứ tự trong giải tích": http://123doc.vn/document/1052439-ung-dung-cua-quan-he-thu-tu-trong-giai-tich.htm

Định nghĩa 4
Ánh xạ S:X

X gọi là tăng (giảm ) nếu S(x)

S(y) (S(x)

S(y)) mỗi khi x,y

X và x

y.
1.2 TIÊN ĐỀ CHỌN
Cho tập I


và họ các tập X
i


.Ii


Khi đó tồn tại ánh xạ f:I


Ii
i
X

thỏa mãn f(
i
)
i
X


i I
 
.
PHÁT BIỂU KHÁC
Cho X


thì tồn tại ánh xạ f:


2 /
X
X


thỏa f(
A
)
A





A

(f gọi là hàm chọn của tập X ).
1.3 BỔ ĐỀ CƠ BẢN
Cho X


,ta xét thứ tự “

” trên X theo: A
BAB




Cho


F

2
X

/


và


:
g F F

thoả mãn:
1) Nếu
F

là một xích của
F
thì
A F
A F





2)


A
F
thì
( )
A g A

và
( )\
g A A
chứa không quá một phần tử.
Khi đó tồn tại A


F
thỏa g(A

)=A


 Chứng minh
Cố định A


F

Một họ
F


gọi là “tốt’’ nếu A
0


và thỏa:
a) Nếu
 


là xích thì
A







b)


A


g(A)


.
I.Họ :


0
: AAA 

là tốt.
Gọi

là giao của tất cả họ tốt.
Nếu có
0

là xích thì cần tìm vì khi đó:
A



0

do
0

là xích và tốt)

g(A

)

0

.

 AAg )(
(do định nghĩa A

) hay g(A

)=A


Tập
1

=
0 0
:
B A
B A
A B
 

 

   
 



 
là xích.
Nếu có
1

là tốt thì
1 0
 

(do định nghĩa
0

) và do đó
0

là xích.

 Chứng minh
1

tốt :
Dễ thấy A
0

1

có tính chất a).thật vậy:
Nếu


là xích trong
1

, đặt B=






A
A
,cần chứng minh B

1


Ta có:

















ABAAA
ABAAA
A
:
:
0




Vậy
1

thỏa tính chất a)
Xét
1
B


.
Ta chứng minh họ
B

=












)2(
)1()(
:
0
BA
ABg
A

là tốt và do đó
0
B
 


a) Nếu
 

là xích ta có:
A
1
=
A
A






(do

tốt )

)(
1
BgA 
nếu
: ( )
A A g B

  


BA 
!
nếu
:
A B A

  

b) Xét tùy A


Có thể có các khả năng:
(1)
.)( ABg


(2)A=B .
(3)A
,
B A B
 

Nếu(1),(2)đúng thì g(A)

g(B) nên g(A)



Giả sử(3) đúng.
Do
B


và g(A
)


ta có:
( ) ( )
( ) ( )\
B g A g A
B g A g A A


  

 

chứa hơn một phần tử(vô lý).
 Chứng minh g(B)
1 0
: A A
  
    







)(
)(
BgABA
ABg

1.4 ĐỊNH LÝ HAUSDORFF VỀ XÍCH CỰC ĐẠI
Mỗi tập được xếp chứa ít nhất một xích cực đại (không là tập con thực sự của xích nào).
 Chứng minh
Giả sử (X,

) là tập đã cho ;trong 2
X
xét thứ tự:
BAbA



.

Gọi f là họ tất cả các xích của X;
F


(do tập 1điểm là xích).
Với mỗi A

F
ta đặt A

=




FxAAXx  :\

Nếu



A
thì A cần tìm :
Gọi f là hàm chọn của X, ta định nghĩa
:
g F F

bới:
 
*
* *
( )
( )
neáu A
A neáu A
A
g A
A f

 



  



Ánh xạ thỏa tính chất 2) của bổ đề.
Tập
F
thỏa tính chất 1) của bổ đề vì:
Nếu
F
F


là một xích(đối vứi thứ tự

)thì

FA
AA


1
là xích của(X,

) hay A
1

F
.Do đó tập
A

F
thỏa g(A)=A là tập cần tìm.

1.5 BỔ ĐỀ ZORN
Giả sử trong tập được xếp X mỗi xích đều có cận trên .Khi đó X có phần tử tối đại.
 Chứng minh:
Giả sử M là xích cực đại của x và
a
là một cận trên của M. Khi đó
a
là phần tử tối đại của
X.
1.6 LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
Các khẳng định sau tương đương theo nghĩa có thể dùng một khẳng định để chứng minh các
khẳng định còn lại.
1)Tiên đề chọn
2)Định lý Hausdorff về xích cực đại
3)Bổ đề Zorn
 Chứng minh
Ta đã có 1)
).3)2



).1)3

Ký hiệu Ylà tập các cặp (J,g)với:
XXJgIJ
Ii
i



:,
thỏa g(i)
JiX
i


Trong Y xét thứ tự:










gJg
JJ
gJgJ
/
),(),(

Nếu
A
gJ


),(
là một xích trong Y,ta định nghĩa:.


J=
:, gJ
A




J
X

là một xạ mà g/j

=g

.
Khi đó g xác định đúng và (J

,g

)

(J,g)

A


.
Gọi
),(

gJ
là phần tử tối đại của Y thì J

=I ,f=g

cần tìm .
1.7 NGUYÊN LÝ ENTROPY TRỪU TƯỢNG
1.7.1 Định lý ( BREZIS, BROWDER )
Giả sử:
(1) X là một tập sắp thử tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có một cận trên,nghĩa là
từ
1

nn
uu với mọi n


, luôn suy ra tồn tại v
X

sao cho ,vu
n
 với mọi n



(2) S:X


,
  
là một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên,nghĩa là từ u

v, luôn luôn suy
ra S(u)

S(v) và tồn tại 1 số thực c sao cho S(u)

c,với mọi u

X. Thế thì tồn tại u

X sao cho:
(3)với mọi v
X

,v

u thì S(u)=S(v).
 Chứng minh
Chọn một phần tử cố định tùy ý
Xu 
1
rồi dựng theo qui nạp dãy
nn
u )(
đơn điệu tăng như
sau:
Giả sử
n
u
đã chọn,chúng ta đặt:


uuXuM
nn
 :
và
S
Mn
n
sup

.
- Nếu
)(
nn
uS

thì(3) thỏa với
n
uu 
và chúng ta chứng minh xong .
- Nếu không, ta có
)(
nn
uS

và có thể chọn một
1
n n
u M


sao cho :
(4)


)(2)(
1
1 nnnn
uSus 




Bằng cách này ta thu được một dãy
nn
u )(
đơn điều tăng Mà theo (1) thì nó có một cận trên là
u
. Nghĩa là ;
(5)
uu
n

với mọi
n
.
Ta chứng minh
u
là phần tử cần tìm .
Giả sử
u
không thỏa (3) thì tồn tại
Xv

sao cho
v
u

mà
( ) ( ).
S u S v


Dãy
nn
uS ))((
đơn điệu tăng và bị chặn trên theo (2) nên nó hội tụ .Từ (5) và tính đơn điệu tăng
của S ta suy ra :
(6)
)(lim
n
n
uS

)(uS

.
Vì
u
v

mà
n
uu 
với mọi n (do (5) ) nên
n
uv 
với mọi n .

Vậy
n
Mv 
với mọi n.
Do đó từ (4) ta suy ra:
)()()(2
1
vSuSuS
nnn



với mọi n cho


n
ta có:
(7)
)()(lim vsuS
n
n



Từ (6) và (7) ta suy ra
)()( vSuS

mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng.
Vậy định lý được chứng minh.
1.7.2 Hệ quả
Giả sử:
i) X là một sắp thứ tự sao cho mỗi dãy giảm trong X có cận dưới.
ii) S:


 ,X
là một phiếm hàm tăng và bị chặn dưới.
Thể thì: tồn tại phần tử
Xu

sao cho:
iii) Với mọi
uvXv


,
thì
)()( vSuS

.
 Chứng minh
Ta định nghĩa X trong quan hệ thứ tự mới “< ” như sau:
x
<
y
y
x



Thế thì tập sắp thứ tự (X,< ) và phiếm hàm (-S) thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1. Thật
vậy:
Ta kiểm tra dãy tăng


Xx
n
n
 có môt cận trên.
Ta có:
1
n n
x x


với mọi n


nên
1
n n
x x


. Do đó theo giả thiết


n
x
có một cận
dưới là u,nghĩa là: x
n
u

với mọi n.
Trở lại quan hệ “ < ” trong X ta có:
ux
n

,
với mọi
n


.
Vậy


n
x
X

có một cận trên.
Áp dụng nguyên lý Entropy (X,< ) và phiếm hàm (-S) ta có:
Tồn tại
u
X

sao cho:
Với mọi
v
: ( ) ( )
X v u S u S v
     

Hay với mọi
v
).()(, vSuSuvX







Chương 2. ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TẬP HỢP
2.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP CÓ
THỨ TỰ
2.1.1. Định lý
Giả sử(X,

) là tập có thứ tự và f:X

X thoả mãn:
a) Mỗi xích thuộc X có cận trên.
b)
)(xfx

,với mỗi x

X.
Khi đó f có điểm bất động.
 Chứng minh
Ta có X là tập có thứ tự và mỗi xích thuộc X có cận trên nên theo bổ đề Zorn X Có phần tử
tối đại, Gọi
1
x
là phần tử tối đại.
Ta có:
1 1
1
( )
toái ñaïi
x f x
x





Suy ra x
1
=f(x
1
)
Vậy f có điểm bất động.
2.1.2 Định lý
Cho tập được sắp (X.

) và ánh xạ f:X

X thỏa mãn:
a) Mỗi xích thuộc X có cận trên đúng.
b) f là ánh xạ tăng.
c)
)(:
000
xfxXx 

Khi đó f có điểm bất động.
 Chứng minh
Đặt


)(:
1
xfxXxX 

Ta có
.10
Xx 
Do f là ánh xạ tăng nên
.11
)( XXf 

Thật vậy, với
1
Xx 
ta có
)(xfx

nên do f là ánh xạ tăng ta có
))(()( xffxf

hay
1
)( Xxf 
.
Do định nghĩa của tập X
1
, ta thây X
1
thỏa điều kiện b) của định lý 2.1.1
Ta sẽ chứng minh thỏa điều kiện a)của định lý 2.1.1.
Thật vậy A
1
X
là một xích thì theo giả thiết a) của định lý 2.1.2 tồn tại

.sup Aa

Ta phải chứng minh
1
Xa 
.Thật vậy,với mọi
Ax

,ta có:
)()( afxfax




Mà
)(xfx

với mọi
Ax

.
Vậy
( )
f a
là một cận trên của A trong X, do đó
)(afa

.
Vậy
1
Xa 
và là một cận trên của A trong X
1

Áp dụng định lý 2.1.1. cho tập X
1
và ánh xạ f ta suy ra f có điểm bất động trong X
1
.
2.1.3 Bổ đề
Cho các tập X,Y và các ánh xạ
.:,: XYgYXf



Khi đó ta có thể phân tích
2121
, YYYXXX 
sao cho:
.)(,)(,,
22112121
XYgYXfYYXX 


 Chứng minh
Ta xét ánh xạ
2 2
: , ( ) \ ( \ ( ))
X X
A X g Y f A
 
 
với
2
X
là tập tất cả các tập con của X.
Trong
2
X
ta xét quan hệ:
BABA




Ta chứng minh mỗi xích thuộc
2
X
có cận trên đúng.
Ta xét xích


2
X
i
i
A 
thì

i
i
A
là cận trên đúng của


i
i
A

Ta cần chứng minh
2
X
A
 
sao cho
).(AA


Thật vậy ta chọn


A
suy ra:







)(\))(\(\)( YgXfYgX

Ta chứng minh

là ánh xạ tăng:
Giả sử
,BA

ta chứng minh
)()( BA




Ta có:
)(\)(\)()( BfYAfYBfAfBA






))(\())(\(\ BfYgAfYgX



))(\(\))(\(\ BfYgXAfYgX



)()( BA




.
Vậy

là ánh xạ tăng.
Áp dụng định lý 2.1.2 ta có

điểm bất động.
Bây giờ ta chứng minh tồn tại
.)(,)(,,,
2211212121
XYgYXfXXYYYXXX 


Thật vậy, lấy
XX 
1
thỏa
)(
11
XX


Và đặt