LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "một định lí mới về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian banach": http://123doc.vn/document/1052752-mot-dinh-li-moi-ve-on-dinh-luy-thua-cua-ho-tien-hoa-tuan-hoan-tren-khong-gian-banach.htm
Chi tit v khụng gian
0
(,)AP R X
+
c trỡnh by trong mc 2.1 ca chng II di õy. Phng
phỏp nghiờn cu da trờn lý thuyt ph ca na nhúm tin húa. Ni dung ca lun vn trỡnh by
li kt qu ca bi bỏo:
A new theorem on exponential stability of
periodic evolution families on Banach spaces
ca hai tỏc gi Constantin Buse & Oprea Jitianu nhng c trỡnh by chi tit
hn.
Ni dung ca lun vn c chia lm ba chng
Chng I:
Cỏc kin thc c bn
Trong chng ny nhc li nh ngha v tớnh cht ca na nhúm, na nhúm liờn tc u, na
nhúm liờn tc mnh, na nhúm tin húa, h tin húa, cng nh cỏc khỏi nim v tớnh cht liờn
quan lm c s cho cỏc kin thc ca chng II.
Chng II:
Li gii thiu v cỏc kt qu
Trong chng ny gii thiu cỏc kớ hiu s dng trong lun vn v cỏc kt qu ca lun vn.
Chng III:
ng dng
Gii thiu mt s ng dng quan trng ca cỏc kt qu trong chng II.
Vỡ kin thc bn thõn cũn nhiu hn ch nờn chc chn cú nhng thiu xút trong quỏ trỡnh
trỡnh by lun vn. Rt mong nhn c s phờ bỡnh v úng gúp ý kin ca Quý Thy cụ cựng
bn bố quan tõm.
CHNG I
KIN THC CHUN B
1.1.
Na nhúm liờn tc u ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn.
nh ngha 1.1.1
Cho
X
l khụng gian Banach. H mt tham s (),0Tt tÊ<Ơ, cỏc toỏn t tuyn tớnh b
chn t
X
vo
X
c gi l mt na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn
X
nu
i)
(0) ,(TII= l ỏnh x ng nht trờn
X
)
ii)
()().()Tt s Tt Ts+= vi mi ,0ts .
Mt na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn
()Tt
c gi l liờn tc u nu
0
lim ( ) 0
t
Tt I
-=. (1.1)
T nh ngha ta cú:
Nu
(),0Tt tÊ<Ơ l mt na nhúm liờn tc u cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn thỡ
lim ( ) ( ) 0
ts
Tt Ts
-=. (1.2)
nh ngha 1.1.2
Cho
{}
0
()
t
Tt
l na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, xỏc nh trờn X . Vi h > 0, ta nh
ngha toỏn t
h
Ax
xỏc nh nh sau
()
,.
h
Thx x
Ax x X
h
-
=ẻ
(1.3)
Kớ hiu
()DA l tp tt c cỏc xXẻ sao cho gii hn
0
lim
h
h
Ax
tn ti.
Ta xỏc nh toỏn t
A trờn
()DA
nh sau:
0
lim ,
h
h
Ax A x
=
()xDAẻ
. (1.4)
Ta gi toỏn t
A xỏc nh nh trờn l toỏn t sinh ca na nhúm
(),Tt
v
()DA
l tp xỏc nh
ca
A.
nh lớ 1.1.3. Mt toỏn t tuyn tớnh A l toỏn t sinh ca mt na nhúm liờn tc u nu v ch
nu
A l mt toỏn t tuyn tớnh b chn.
Chng minh:
Cho A l mt toỏn t tuyn tớnh b chn trờn ,X v t
0
()
()
!
n
tA
n
tA
Tt e
n
Ơ
=
==
ồ
. (1.5)
V phi (1.5) hi t theo chun vi mi
0,t v xỏc nh vi mi t l mt toỏn t tuyn tớnh b
chn
()Tt
.
Rừ rng
=(0) ,TI v vi cỏch tớnh trc tip trờn chui ly tha, ta cú:
()().()Tt s Tt Ts+=
Tin hnh ỏnh giỏ chui ly tha trờn, ta cú:
()
tA
Tt I tAe-Ê
v
-
-Ê -
()
() .
Tt I
AATtI
t
Suy ra
()Tt l na nhúm liờn tc u cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn ,X v A l toỏn t sinh
ca
()Tt
.
Mt khỏc, cho
()Tt l mt na nhúm liờn tc u cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn .X
C nh r > 0 nh sao cho
1
0
()sITsd
r
r
-
-
ũ
< 1.
Suy ra
1
0
()sTsd
r
r
-
ũ
l kh nghch v vỡ vy
0
()sTsd
r
ũ
l kh nghch.
Mt khỏc
()
00 0
0
11
() ()s ( ) ()
1
() () .
h
h
Th I Tsd Ts hds Tsds
hh
Tsds Tsds
h
rr r
r
r
+
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-=+-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũũ ũ
ũũ
Vỡ vy
()
1
()Th I
h
-
=
1
00
11
()s- ()s( ()s)
h
hh
Tsd Tsd Tsd
hh
r
r
+
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũũũ
(1.6)
Trong (1.6), cho 0h ta cú
()
1
()Th I
h
- hi t theo chun. Do ú toỏn t tuyn tớnh b chn
()
1
0
() ( ()s)TITsd
r
r
-
-
ũ
l toỏn t sinh ca ()Tt.
Toỏn t sinh ca na nhúm
()Tt
l duy nht. nh lớ sau s chng minh cho khng nh trờn.
nh lớ 1.1.4. Cho ()Tt v ()St l na nhúm liờn tc u cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn .X
Nu
00
() ()
lim lim
tt
Tt I St I
A
tt
==
thỡ ()Tt= (),St vi mi 0t . (1.7)
Chng minh:
Cho T > 0, chỳng ta chng minh rng =S( ) ( ),tTt vi 0 tTÊÊ .
C nh
T > 0, vỡ hm (),tTt v ()tSt liờn tc nờn tn ti hng s C sao cho:
() () ,Tt St CÊ vi 0,ts TÊÊ.
Cho
0,e > do (1.7) nờn tn ti s 0d > sao cho:
1
() ()Th Sh
hTC
e
-<, vi 0 h dÊÊ. (1.8)
Cho
ÊÊ0,tT v chn 1n sao cho
t
n
d<
.
T tớnh cht ca na nhúm v t (1.8), ta cú:
() ()Tt St- = () ()
tt
Tn Sn
nn
-
Ê
1
0
(1)
()()( 1)( )
n
k
tkt t k t
Tn k S Tn k S
nn n n
-
=
ổử ổ ử
+
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứ ố ứ
ồ
Ê
1
0
(1)()()()
n
k
tt tkt
Tn k T S S
nn nn
-
=
ổử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ
Ê
t
Cn
TC n
e
e
Ê .
Vy
S( ) ( ),tTt= vi mi
0 tTÊÊ
.
Do hai nh lớ trờn ta cú kt qu sau:
Cho
()Tt l na nhúm liờn tc u cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, ta cú:
a) Tn ti hng s w 0, sao cho
()
t
Tt e
w
Ê
.
b)
Tn ti toỏn t b chn duy nht ,A sao cho ()
At
Tt e= .
c)
Toỏn t A trong phn b) l toỏn t sinh ca ()Tt.
d)
()tTt
kh vi theo chun, v
()
() ()
dT t
AT t T t A
dt
==
.
1.2. Na nhúm liờn tc mnh cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn
Trong phn ny ta kớ hiu
X l khụng gian Banach.
nh ngha 1.2.1
Mt na nhúm
(),0Tt tÊ<Ơ cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn X l na nhúm liờn tc
mnh nu
0
lim ( ) ,
t
Ttx x
= vi mi .xXẻ (1.9)
Mt na nhúm liờn tc mnh cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn
X c gi l mt na nhúm ca
lp
0
C hay gi tt l na nhúm _
0
C .
nh lớ 1.2.2. Cho ()Tt l na nhúm _
0
C , khi ú tn ti hng s 0w v
1,M
sao cho:
() . ,
t
Tt Me
w
Ê vi
0 tÊ<Ơ
. (1.10)
Chng minh:
Trc ht ta thy tn ti s h > 0, sao cho ()Tt l b chn trong 0,t hÊÊ vỡ nu trỏi li thỡ
cú dóy
{}
n
t thừa
Ơ
=0, lim 0,
nn
n
tt v () .
n
Tt n
p dng nh lớ b chn u, tn ti
xXẻ sao cho ()
n
Tt x l khụng b chn. iu ny mõu thun
vi (1.9). Vỡ vy
Ê() ,Tt M vi mi hÊÊ0.t
Do ú
(0) 1.MT=
Cho
w
h
=
1
log 0,M
v 0,t ta cú tnhd=+, vi 0 dhÊ<.
p dng tớnh cht ca na nhúm, ta thu c
() () ( )
n
Tt T Tdh=
1
t
nt
MMMMe
w
h
+
ÊÊ =.
H qu 1.2.3. Nu ()Tt l na nhúm _
0
C thỡ vi mi xXẻ , ()tTtx l mt hm liờn tc t
0
+
(ng thng thc khụng õm) vo
X
.
Chng minh:
Cho ,0,th ta cú:
() ()Tt hx Ttx+- Ê () ( )Tt Thx x-
Ê .
t
Me
w
()Thx x-
.
v cho
0,th ta cú:
() ()Tt hx Ttx
Ê
() ()Tt h x Thx
Ê .
t
Me
w
()xThx- .
Cho
0,h ỏp dng tớnh cht liờn tc mnh ca na nhúm (),Tt suy ra hm ()tTtx l liờn
tc t
0
+
vo X .
nh lớ 1.2.4. Cho ()Tt l na nhúm _
0
C v cho A l toỏn t sinh ca nú, ta cú:
a) Vi xXẻ ,
0
1
lim ( ) ( ) .
th
h
t
Tsxds Ttx
h
+
=
ũ
(1.11)
b) Cho
xXẻ ,
0
() ( )
t
Tsxds DAẻ
ũ
v
0
() () .
t
ATsxds Ttxx
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũ
(1.12)
c) Cho
(),xDAẻ () ( )Ttx DAẻ
v
() () () .
d
Ttx ATtx TtAx
dt
== (1.13)
d) Cho
(),xDAẻ
() () () ()
tt
ss
T t x T s x T r Axdr AT r xdr-= =
ũũ
. (1.14)
Chng minh:
a) Phn ny c suy ra trc tip t tớnh liờn tc ca ()tTtx .
b) Cho
xXẻ , v > 0,h ta cú:
()
00
00
() 1
()ds ( ) () s
11
() s () s.
tt
th h
Th I
Tsx Ts hx Tsx d
hh
Tsxd Tsxd
hh
+
-
=+-
=-
ũũ
ũũ
Cho
0,h
v phi tin n -() ,Ttx x ta cú iu phi chng minh.
c) Cho
()xDAẻ v > 0,h ta cú:
()
()
Th I
Ttx
h
-
=
()
() ()
Th I
Tt x TtAx
h
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
khi 0h . (1.15)
vỡ vy
() ( )Ttx DAẻ
v
() ()AT t x T t Ax=
.
T (1.15), suy ra
() () ()
d
Ttx ATtx TtAx
dt
+
==
. Ngha l o hm bờn phi ca ()Ttx l
()TtAx. Chng minh (1.13) ta chng minh rng vi 0t > , o hm bờn trỏi ca ()Ttx tn ti, v
bng
()TtAx.
Ta cú
0
() ( )
lim ( )
h
Ttx Tt hx
TtAx
h
ộự
ờỳ
-
ờỳ
ởỷ
=
()
00
()
lim ( ) lim ( ) ( )
hh
Thx x
T t h Ax T t h Ax T t Ax
h
ộự
-
ờỳ
+
ờỳ
ởỷ
.
v c hai gii hn bờn phi u bng 0.
Gii hn th nht bng 0 do
ẻ (),xDA v ()Tt h- b chn trờn 0 htÊÊ, gii hn th hai l
do tớnh liờn tc mnh ca
()Tt .
Kt thỳc chng minh kt qu (c).
d) Chng minh phn ny ta ly tớch phõn t
s n
t
cho 2 v ca (1.13).
H qu 1.2.5. Nu A l toỏn t sinh ca na nhúm ()Tt v ()Tt l na nhúm _
0
C thỡ tp xỏc
nh
()DA ca A trự mt trong ,X hn na A l toỏn t tuyn tớnh úng.
Chng minh:
Vi xXẻ , xột tp
0
1
()s
t
t
xTsd
t
=
ũ
. Do kt qu b)
ca nh lớ 1.2.4 nờn
ẻ (),
t
xDA vi 0t > v do kt qu a) ca nh lớ 1.2.4 nờn
t
xx khi
0t
. Vỡ vy ()DA X= .
Tớnh cht tuyn tớnh ca
A l rừ rng, vỡ vy ta ch cn chng minh A l ỏnh x úng.
Cho
()
n
xDAẻ ,
n
xx v
n
Ax y khi n Ơ.
T kt qu d) ca nh lớ 1.2.4, ta cú:
0
() () s
t
nn t n
Ttx x x TsAxd-==
ũ
(1.16)
Ta cú hm
()
n
TsAx hi t u n ()Tsy trờn mt khong b chn, do vy trong (1.16) khi
n Ơ, ta cú:
0
() () s
t
Ttx x Tsyd-=
ũ
(1.17)
Chia (1.17) cho
> 0,t v cho 0t , ta cú ()xDAẻ v Ax y= , (do kt qu a) ca nh lớ
1.2.4).
nh lớ 1.2.6. Cho ()Tt v ()St l na nhúm _
0
C ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn vi hai toỏn
t sinh tng ng l
A v .B Nu AB= thỡ =() (),Tt St vi mi
0t
Chng minh:
Cho () ()xDA DBẻ=. T kt qu c) ca nh lớ 1.2.4, ta cú hm ()()sTtsSsx - kh vi
v
()()
s
d
Tt sSsx
d
-
= ()() ()()AT t s S s x T t s BS s x +-
=
()() ()()0Tt sASsx Tt sBSsx + - =
Vỡ vy hm
()()sTtsSsx -
l hm hng. Trong trng hp c bit giỏ tr ca nú 0s = v
st= l ging nhau , tc l () ()Ttx Stx= vi mi xXẻ . Do ú iu ny cng ỳng cho mi
()xDAẻ .
Do h qu 1.2.5, ()DA trự mt trong ,X v (), ()Tt St b chn nờn =() (),Ttx Stx vi mi
xXẻ .
1.3.nh lớ Hille-Yosida
Cho
()Tt
l mt na nhúm
0
_C . T nh lớ 1.2.2, ta cú hng s 0w v 1M , Sao cho:
()Tt .,
t
Me
w
Ê vi 0 tÊ<Ơ.
Nu
0w = thỡ ()Tt c gi l b chn u.
Nu
1M = thỡ ()Ttc gi l na nhúm
0
_C
rỳt gn.
Nu
A l toỏn t tuyn tớnh (khụng nht thit b chn) trong X , tp gii ()Ar ca tp A l tp
hp gm tt c cỏc s phc
l sao cho
IAl -
cú ỏnh x ngc, tc l
(
)
1
IAl
-
- l toỏn t tuyn
tớnh b chn trong
X .
H
(
)
1
(, )RA IAll
-
=- ,
()Alrẻ
c gi l gii thc ca A.
nh lớ 1.3.1.(Hille Yosida)
Mt toỏn t tuyn tớnh (cú th khụng b chn ) A l toỏn t sinh ca na nhúm
0
_C rỳt gn
()Tt
, 0t nu v ch nu
a)
A l úng v ()DA X=
b) Tp gii
()Ar
ca A l tp cha
+
, v cho l > 0, ta cú:
1
(, )
RAl
l
Ê (1.18)
nh lớ 1.3.2. Cho ()Tt l na nhúm liờn tc mnh xỏc nh trờn ,X v A l toỏn t sinh ca nú
thừa hai iu kin ca nh lớ 1.3.1. Khi ú ta cú kt qu sau
lim ( , ) , .RAx x xX
l
ll
Ơ
="ẻ
Chng minh:
u tiờn gi s rng ẻ (),xDA thỡ
(, )RAxxll - = (, ) (, )AR A x R A Axll=
Ê
1
Ax
l
0 khi l Ơ.
Nhng ()DA X= , (
()DA
trự mt trong X v
(, ) 1RAll Ê
).
Vỡ vy
lim ( , ) , .RAx x xX
l
ll
Ơ
="ẻ
1.4. Na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh v bi toỏn Cauchy.
Chỳng ta xột mt phng trỡnh vi phõn v quan h ca nú vi na nhúm cỏc toỏn t tuyn
tớnh.
Cho
X l khụng gian Banach, v A l toỏn t tuyn tớnh t ()DA X Xè . Cho xXẻ , bi
toỏn Cauchy ca
A vi giỏ tr u x l:
()
(), 0
(0)
du t
Au t t
dt
ux
ỡ
ù
ù
=>
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
(1.19)
Nghim ca bi toỏn l mt hm
()ut cú giỏ tr trong ,X sao cho ()ut liờn tc vi mi 0t ,
kh vi liờn tc v
ẻ() ( ),ut DA vi mi 0t > , ng thi thừa (1.19).
Rừ rng nu A l toỏn t sinh ca na nhúm
0
_()CT t
thỡ bi toỏn Cauchy theo A cú nghim
=() (),ut Ttx vi mi ().xDAẻ
Tht vy theo nh lớ 1.2.4, ta cú:
() () ()
d
Ttx ATtx TtAx
dt
==
v
(0)Tx x= .
Bõy gi ta xột bi toỏn giỏ tr u khụng thun nht
()
() (), 0
(0)
du t
Au t f t t
dt
ux
ỡ
ù
ù
=+>
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
(1.20)
vi
ộộ
ờờ
ởở
:0, ,
f
TX v A l toỏn t sinh ca na nhúm
0
_()CT t sao cho phng trỡnh thun nht
tng ng (tc l phng trỡnh vi
0
f
) cú nghim duy nht vi mi giỏ tr u ()xDAẻ .
nh ngha 1.4.2
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét