(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường tròn

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường tròn ": http://123doc.vn/document/567149-hinh-hoc-10-chuong-iii-bai-giang-duong-tron.htm

4. phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn
Cho đờng tròn (C) có phơng trình:
(C): x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0, với a
2
+ b
2
c 0.
Phơng tích của điểm M(x
0
; y
0
) đối với đờng tròn (C) đợc xác định bởi:
p
M/(C)
=
2
0
x
+
2
0
y
2ax
0
2by
0
+ c
Từ giá trị về dấu của p
M/(O)
ta xác định đợc vị trí của điểm M đối với (C)
Nếu p
M/(C)
>0 M ở ngoài đờng tròn (C).
Nếu p
M/(C)
= 0 M ở trên đờng tròn (C).
Nếu p
M/(C)
<0 M ở trong đờng tròn (C).
5. Trục đẳng phơng của hai đờng tròn
Cho hai đờng tròn không đồng tâm (C
1
) và (C
2
) có phơng trình :
(C
1
): x
2
+ y
2
2a
1
x 2b
1
y + c
1
= 0, với
1
2
1
2
1
cba
+
0
(C
2
): x
2
+ y
2
2a
2
x 2b
2
y + c
2
= 0, với
2
2
2
2
2
cba
+
0
Khi đó tập hợp những điểm có cùng phơng tích với hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
) là đ-
ờng thẳng (d), gọi là trục đẳng phơng của hai đờng tròn (C
1
), (C
2
) có phơng trình:
(d): 2(a
1
a
2
)x + 2(b
1
b
2
)y c
1
+ c
2
= 0.
phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Lập phơng trình đờng tròn thoả mãn điều kiện cho trớc.
Phơng pháp thực hiện
Gọi (C) là đờng tròn thoả mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn phơng trình
dạng tổng quát hoặc dạng chính tắc.
Muốn có phơng trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, c,
điều kiện a
2
+ b
2
c 0.
Muốn có phơng trình dạng chính tắc, ta lập hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, R,
điều kiện R 0.
Chú ý:
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình
thích hợp.
2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác
phơng trình đờng tròn.
Ví dụ 1: Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau:
a. Đi qua điểm C(1; 2) và tâm là giao điểm của hai đờng thẳng
(d
1
): 3x 4y + 1 = 0 và (d
2
): 2x + y 3 = 0
b. Đi qua điểm A(1; 2), B(3; 1) và tâm I nằm trên (d): 7x + 3y + 1 = 0.
5
Giải
a. Gọi K là giao điểm của (d
1
) và (d
2
), khi đó toạ độ của K là nghiệm của hệ:



=+
=+
03yx2
01y4x3
x = y = 1 K(1; 1)
Đờng tròn (C) có tâm K có phơng trình:
(C): (x 1)
2
+ (y 1)
2
= R
2
.
Điểm C(1; 2)(C) 1 = R
2
.
Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x 1)
2
+ (y 1)
2
= 1.
b. Giả sử phơng trình đờng tròn (C) có dạng:
(C): x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0, với điều kiện a
2
+ b
2
c 0.
Điểm A(1; 2)(C) 5 2a 4b + c = 0. (1)
Điểm B(3; 1)(C) 10 6a 2b + c = 0. (2)
Tâm I(a; b)(d) 7a + 3b + 1 = 0 (3)
Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), (3), ta đợc
a =
2
1
, b =
2
3
, c = 10.
Vậy, phơng trình đờng tròn (C): x
2
+ y
2
x + 3y 10 = 0.
Chú ý: Để lập lập phơng trình đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C (đờng tròn ngoại tiếp
ABC) ta cân nhắc lựa chọn một trong hai hớng sau:
Hớng 1: Tổng quát, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Giả sử đờng tròn (C) có phơng trình:
(C): x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0, với a
2
+ b
2
c 0. (1)
Bớc 2: Từ điều kiện A, B, C thuộc (C), ta đợc hệ 3 phơng trình với ba ẩn a, b, c.
Thay a, b, c vào (1) ta đợc phơng trình của (C).
Hớng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ABC, tức là:
1. Nếu ABC vuông tại A, thì:
(C):





=
2
BC
R
BCdiểmtrunglaItam
.
2. Nếu ABC đều, cạnh bằng a, thì:
6
(C):





=

3
3a
R
ABCtamtronglaItam
.
Ví dụ 2: Lập phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết:
a. A(1; 4), B( 4; 0), C( 2; 2).
b. A(1; 1), B(3; 2), C(4; 3).
c. A(1;
3
1
), B(1;
3
1
), C(0; 0).
Giải
a. Giả sử phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC có dạng:
(C): x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0, với a
2
+ b
2
c 0
Điểm A(1; 4)(C) 1 + 16 2a 8b + c = 0. (1)
Điểm B( 4; 0)(C) 16 + 8a + c = 0. (2)
Điểm C( 2; 2)(C) 4 + 4 + 4a + 4b + c = 0. (3)
Giải hệ tạo bởi (1), (2), (3), ta đợc a =
2
1
, b =
2
1
, c = 20.
Vậy, phơng trình đờng tròn (C): x
2
+ y
2
x y 20 = 0.
b. Nhận xét rằng
AB
.
AC
= (2; 3).(3; 2) = 0 ABAC ABC vuông tại A.
Vậy đờng tròn ngoại tiếp ABC đợc cho bởi:
(C):







==
2
26
2
BC
R
BCdiemtrungla)
2
1
,
2
7
(Itam
(C): (x
2
7
)
2
+ (y
2
1
)
2
=
2
13
.
c. Nhận xét rằng
AB = BC = CA =
3
2
ABC đều.
Vậy đờng tròn ngoại tiếp ABC là:
7
(C):







==

3
2
2
3AB
R
ABCtamtrongla)0,
3
2
(Itam
(C): (x
3
2
)
2
+ y
2
=
9
4
.
Ví dụ 3: Lập phơng trình đờng tròn (C) có tâm I(5; 6) và tiếp xúc với đờng thẳng (d)
có phơng trình
(d):
4
2x

=
3
y
.
Giải
Ta có thể giải bằng hai cách sau:
Cách 1: Chuyển phơng trình của (d) về dạng tham số, ta đợc:
(d):



=
+=
t3y
t42x
, t R.
Đờng tròn (C) có:
(C):



Rbkinh
)6,5(Itam
(C): (x 5)
2
+ (y 6)
2
= R
2
. (1)
Thay x, y từ phơng trình tham số của (d) vào (C), ta đợc:
25t
2
60t + 45 R
2
= 0. (2)
(C) tiếp xúc với (d) phơng trình (2) có nghiệm kép
' = 0 R
2
= 9 (khi đó ta đợc t =
5
6
)
Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x 5)
2
+ (y 6)
2
= 9.
Cách 2: Chuyển phơng trình của (d) về dạng tổng quát, ta đợc:
(d): 3x 4y 6 = 0.
Gọi R là bán kính đờng tròn (C). (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi:
R = d(I, (d)) =
169
|66.45.3|
+

= 3.
Vậy, phơng trình đờng tròn (C): (x 5)
2
+ (y 6)
2
= 9.
Chú ý: Nếu giả thiết cho (C) tiếp xúc với (d): Ax + By + C = 0 tại điểm M(x
0
; y
0
), ta có
đợc các điều kiện sau:
a. Tâm I thuộc đờng thẳng () có phơng trình cho bởi:
8
():





)B,A(nvtcp
)y,x(Mqua
00
():



+=
+=
Btyy
Atxx
0
0
, tR
I(x
0
+ At; y
0
+ Bt)
b. (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi IM = R.
Bài toán 2: Vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và đờng tròn.
Phơng pháp thực hiện
1. Để xét vị trí tơng đối của điểm với đờng tròn, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định phơng tích của M đối với đờng tròn (C) là p
M/(C)
.
Bớc 2: Kết luận:
Nếu p
M/(C)
< 0 M nằm trong đờng tròn.
Nếu p
M/(C)
= 0 M nằm trên đờng tròn.
Nếu p
M/(C)
> 0 M nằm ngoài đờng tròn.
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
Nếu M nằm trong (C) không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M nhng khi đó mọi
đờng thẳng qua M đều cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Nếu M nằm trên (C) tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua M (phơng trình
tiếp tuyến có đợc bằng phơng pháp phân đôi toạ độ).
Nếu M nằm ngoài (C) tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M.
2. Để xét vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn, ta lựa chọn một trong hai cách
sau:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đờng tròn,
ta đợc:
Nếu h > R (d)(C) = {}.
Nếu h = R (d) tiếp xúc với (C).
Nếu h < R (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình
bằng số giao điểm của (d) và (C).
Chú ý: Trong trờng hợp đờng thẳng cắt đờng tròn tại hai điểm phân biệt ta có khái
niệm chùm đờng tròn dạng 1:
" Phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của đờng thẳng
(d): Ax + By + C = 0,
(C): x
2
+ y
2
2ax 2by + c = 0
có dạng:
x
2
+ y
2
2ax 2by + c + m(Ax + By + C) = 0. "
3. Để xét vị trí tơng đối của hai đờng tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
9
Cách 1: Tính khoảng cách I
1
I
2
(I
1
, I
2
là hai tâm của hai đờng tròn), rồi so sánh với
tổng và hiệu hai bán kính R
1
, R
2
của hai đờng tròn, ta đợc:
Nếu I
1
I
2
> R
1
+ R
2
(C
1
) và (C
2
) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
Nếu I
1
I
2
< |R
1
R
2
| (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau và nồng nhau.
Nếu I
1
I
2
= R
1
+ R
2
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau.
Nếu I
1
I
2
= |R
1
R
2
| (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc trong với nhau.
Nếu |R
1
R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
(C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.
Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp
tuyến chung của hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
).
Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo bởi (C
1
) và (C
2
), khi đó số nghiệm của phơng trình
bằng số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
Nhận xét quan trọng:
1. Bằng việc xét vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn chúng ta có thể ứng dụng
để giải các hệ đại số, dạng:
Dạng 1: Giải và biện luận hệ:



=++
=++
0CByAx
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
22
.
Dạng 2: Giải và biện luận hệ:



++
++
0CByAx
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
22
.
2. Bằng việc xét vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn chúng ta có thể ứng dụng
để giải các hệ đại số, dạng:
Dạng 1: Giải và biện luận hệ:





=++
=++
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
222
22
111
22
Dạng 2: Giải và biện luận hệ:





++
++
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
0)m(cx)m(b2x)m(a2yx
222
22
111
22
10
Ví dụ 1: Cho điểm M(6; 2) và đờng tròn (C) có phơng trình:
(C): (x 1)
2
+ (y 2)
2
= 5.
a. Chứng tỏ rằng điểm M nằm ngoài (C).
b. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và cắt đờng tròn (C) tại hai điểm A, B
sao cho AB =
10
.
Giải
Đờng tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R =
5
.
a. Ta có:
p
M/(C)
= (6 1)
2
+ (2 2)
2
5 = 20>0 M nằm ngoài đờng tròn.
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, ta có:
IH
2
= IA
2
AH
2
= R
2

4
AB
2
= 5
4
10
=
2
5

IH =
2
10
.
Đờng thẳng (d) đi qua M có dạng:
(d): A(x 6) + B(y 2) = 0 (d): Ax + By 6A 2B = 0.
Đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện dầu bài khi và chỉ khi:
d(I, (d)) = IH
22
BA
|B2A6B2A|
+
+
=
2
10
9A
2
= B
2
A = 3B.
Với A = 3B, ta đợc (d
1
): x 3y = 0.
Với A = 3B, ta đợc (d
2
): x + 3y 12 = 0.
Vậy tồn tại hai đờng thẳng (d
1
), (d
2
) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 2: Cho đờng thẳng (d) và đờng tròn (C) có phơng trình:
(d): x + y 1 = 0 và (C): x
2
+ y
2
1 = 0.
a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Lập phơng trình đờng tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đờng thẳng ():
2x y 2 = 0.
Giải
a. Đờng tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1. Ta có:
d(O, (d)) =
11
|1|
+

=
2
1
< R
Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Đờng tròn (S) đi qua các giao điểm của (d) và (C), có dạng
(S): x
2
+ y
2
1 + m(x + y 1) = 0
(S): x
2
+ y
2
+ mx + my 1 m = 0 (1)
suy ra tâm I(
2
m
;
2
m
).
(S) tiếp xúc với ()
11
H
M
A
B
I
d(I, ()) = R
14
|2
2
m
)
2
m
(2|
+
+
=
1m
2
m
2
++

9m
2
+ 12m + 4 = 0 m =
3
2
.
Thay m =
3
2
vào (1) ta đợc (S): x
2
+ y
2

3
2
x
3
2
y
3
1
= 0.
Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn
(C
1
): x
2
+ y
2
2x + 4y 4 = 0, (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x 2y 14 = 0.
a. Chứng minh rằng hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
) cắt nhau.
b. Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của (C
1
), (C
2
) và qua điểm M(3; 0).
Giải
a. Ta có :
Đờng tròn (C
1
) có tâm I
1
(1; 2) và bán kính R
1
= 3.
Đờng tròn (C
2
) có tâm I
2
( 1; 1) và bán kính R
2
= 4.
Ta có:
I
1
I
2
=
22
)12()11(
++
=
13
,
|R
1
R
2
| = 0<I
1
I
2
<2 = R
1
+ R
2
(C
1
)(C
2
) = {A, B}.
b. Đờng tròn (S) đi qua các giao điểm của (C
1
) và (C
2
), có dạng:
(S): (x
2
+ y
2
+ 2x 2y 14) + à(x
2
+ y
2
2x + 4y 4) = 0
(S): ( + à)x
2
+ ( + à)y
2
2(à )x 2( 2à)y 14 4à = 0 .
(1)
Điểm M(3; 0)(S)
9( + à) 3(à ) 14 4à = 0 = à
Thay = à vào (1) ta đợc (S): x
2
+ y
2
+ y 9 = 0.
Ví dụ 4: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
0aayx
0xyx
22
a. Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b. Gọi (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng (x
2
x
1
)
2
+
(y
2
y
1
)
2
1.
Giải
Viết lại hệ dới dạng:
12





=+
=+
)2(0aayx
)1(
4
1
y)
2
1
x(
22
Phơng trình (1) là đờng tròn (C) có tâm I(
2
1
; 0), bán kính R =
2
1
.
Phơng trình (2) là đờng thằng (d).
a. Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
d(I, d) < R
2
a1
a
2
1
+

<
2
1
0 < a <
3
4
.
b. Với 0 < a <
3
4
, (d)(C) = {A, B} có toạ độ là A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
).
Ta có:
AB 2R AB
2
4R
2
(x
2
x
1
)
2
+ (y
2
y
1
)
2
1, đpcm.
Bài toán 3: Lập phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) (tâm I(a; b) bán
kính R) thoả mãn điều kiện K.
Phơng pháp thực hiện
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử đợc đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): Ax + By + C = 0.
Bớc 2: (d) là tiếp tuyến của (C)
d(I, (d)) = R.
Bớc 3: Kết luận về tiếp tuyến (d).
Chú ý: Điều kiện K thờng gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trớc, khi đó:
a. Nếu M(x
0
; y
0
)(C) (tức là p
M/(C)
= 0), ta có ngay:
(d):






)by,ax(IMvtpt
)y,x(Mqua
00
00

(d): (x
0
a)(x x
0
) + (y
0
b)(y y
0
) = 0
(d): (x
0
a)(x a) + (y
0
b)(y b) = R
2
Phân đôi toạ độ.
13
b. Nếu M(x
0
; y
0
) (C) (tức là p
M/(C)
0), ta giả sử:
(d): A(x x
0
) + B(y y
0
) = 0 (d): Ax + By Ax
0
By
0
= 0
2. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó:
(d): Ax + By + D = 0.
3. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó:
(d): Bx Ay + D = 0.
4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó:
(d): y = kx + m (d): kx y + m = 0.
5. Tiếp tuyến có tạo với đờng thẳng () một góc , khi đó ta linh hoạt sử dụng một
trong hai công thức:
cos =
|b|.|a|
|b.a|




, với
a

,
b

theo thứ tự là vtcp của (d), ().
tg =
21
21
kk1
kk
+

, với k
1
, k
2
theo thứ tự là hsg của (d), ()
Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phơng pháp phân đôi toạ độ để giải.
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Giả sử điểm M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm, khi đó:
Phơng trình tiếp tuyến có dạng:
x.x
0
+ y.y
0
a(x + x
0
) b(y + y
0
) + c = 0. (1)
(hoặc (x a) (x
0
a) + (y b)(y
0
b) = R
2
).
Điểm M(C)

2
0
2
0
yx
+
2ax
0
2by
0
+ c = 0 (2)
(hoặc (x
0
a)
2
+ (y
0
b)
2
= R
2
)
Bớc 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phơng trình theo
x
0
, y
0
(3)
Bớc 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta đợc toạ độ tiếp điểm M(x
0
; y
0
), từ đó thay vào
(1) ta đợc phơng trình tiếp tuyến cần xác định.
Ví dụ 1: Lập phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) đi qua M, biết:
a. (C): (x 3)
2
+ (y 1)
2
= 5 và M(2; 3).
b. (C): x
2
+ y
2
2x 8y 8 = 0 và M(4; 6).
Giải
a. Nhận xét rằng:
)C/(M
P
= 0 M (C).
Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M có dạng:
(d): (x 3)(2 3) + (y 1)(3 1) = 9 (d): x 2y + 8 = 0.
b. Nhận xét rằng:
)C/(M
P
>0 M ở ngoài (C).
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đờng tròn (C) có tâm I(1; 4), bán kính R = 5.
14